ماراتن نامساوي

Olympiad · 1389/3/6

سلام دوستان .....
نميدونم چرا يه دفعه حال كردم يه ماراتن نامساوي راه بندازم ( به تقليد از mathlink !!!!)
حالا من يه نظرسنجي راه ميندازم كه فقط تا فردا مهلت داره آخه بعضي ها (=shoki ) نظر مخالف داده بودند!!!!
تاكيد مي كنم كه مهلت اين نظرسنجي به مدت يك روز مي باشد....

Olympiad · 1389/3/6

همين جا ماراتن نامساوي ها رو افتتاح مي كنم

اول قوانين رو ذكر مي كنم :
1 - براي همه ي سوالات خود شماره سوال را ذكر كنيد...
2 - از مبحث تاپيك ،خارج نشويد

3 - تا سوالي حل نشده ، سوال بعدي نداريم!!!
4 - اگر از نامساوي اي استفاده كرديد كه زياد مشهور نيست ، سعي كنيد صورت آن را در يك پست جداگانه بنويسيد.
با تشكر از همه!!!
سوال اول هم خودم ميذارم (از آسون به سخت!!!)
[center:b9e6d25047]

$\300dpi \huge 1$

[/center:b9e6d25047]شرمنده ديگه خيلي ساده است .... سوالات هر چه جلوتر مي رويم سخت تر مي شود :
فرض كنيد

$a,b,c,x,y,z$

اعدادي حقيقي و مثبت باشند ، ثابت كنيد :

$\frac{a^3}{x}+\frac{b^3}{y}+\frac{c^3}{z}\geq \frac{(a+b+c)^3}{3(x+y+z)}$

majidgoodarzi · 1389/3/6

سوال1:x+y+z رو میاریم این طرف و یه کوشی و بعد سه تا میانگین...

Olympiad · 1389/3/6

من دقيقا متوجه حلتون نشدم

mahanmath · 1389/3/6

یه طرفین وسطین میکنیم و میشه هولدر سه تایی...

[center:63488ba4f9]

$\300dpi \huge 2$

[/center:63488ba4f9]

$a,b,c \in \mathbb{R}^+$

و

$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=3$

ثابت کنید :

[center:63488ba4f9]

$\frac{a^3(2b^2+a)}{2b^2+1}+\frac{b^3(2c^2+b)}{2c^2+1}+\frac{c^3(2a^2+c)}{2c^2+1}\geq3$

[/center:63488ba4f9]

farid_frd · 1389/3/7

Olympiad گفت

حالا راه حل خودت چیه ؟( من مثل mmath حل کردم )
البته راه دیگه اش هم این بود که ثابت کنیم

$\frac{a^{3}}{x^{2}}+\frac{b^{3}}{y^{2}}+\frac{c^{3}}{z^{2}}\geq \frac{(a+b+c)^{3}}{(x+y+z)^{2}}$

Olympiad · 1389/3/7

farid_frd گفت

منم دقيقا همونجوري حل كردم...فقط يه هولدر....

M_Sharifi · 1389/3/7

mmath گفت

داریم
[center:3b0d80a5d9]

$\left\sum\frac{a^3(2b^2+a)}{2b^2+1}-3=\sum\frac{a^3(2b^2+1+a-1)}{2b^2+1}-3=\left(\sum a^3\right)-3+\sum\frac{a^4-a^3}{2b^2+1}\right$

با توجه به فرض مسئله، واضح است که

$\sum a^3-3\geq0$

. ضمن این که طبق نابرابری میانگین حسابی هندسی،

$\sum\frac{a^4}{2b^2+1}\geq 2\sum\frac{a^3}{2b^2+1}-\sum\frac{a^2}{2b^2+1}\\ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\geq\sum\frac{a^3}{2b^2+1}+\frac12\sum\frac{a^2}{2b^2+1}-\frac12\sum\frac1{2b^2+1}-\sum\frac{a^2}{2b^2+1}\\ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~=\sum\frac{a^3}{2b^2+1}+\frac12\left(\sum\frac{a^2-1}{2b^2+1}\right)$

حالا کافیه ثابت کنیم که

$\sum\frac{a^2-1}{2b^2+1}\geq0$

. داریم

$\sum\frac{a^2-1}{2b^2+1}=\frac{4\sum a^4c^2+3\sum a^2-3+2(\sum a^4-\sum a^2b^2)}{(2a^2+1)(2b^2+1)(2c^2+1)}$

[/center:3b0d80a5d9]
می دانیم

$\sum a^4-\sum a^2b^2\geq0$

. ضمن این که طبق نابرابری میانگین حسابی هندسی،

[center:3b0d80a5d9]

$\left 4\sum a^4c^2-3\sum a^2-3\geq 8\sum a^2-4\sum \frac1{a^2}-3\sum a^2=4\left(\sum a^2-\frac 1{a^2}\right)+\sum a^2-3\right$

حالا دقت کنید که اولا

$\sum a^2\geq 3$

و ثانیا

$\sum a^2\geq \sum\frac1{a^2}$

(اثبات این نابرابری: ftopict-2561.html )

[/center:3b0d80a5d9]

M_Sharifi · 1389/3/7

[center:4a7085dea0]

$\300dpi \huge 3$

برای اعداد مثبت

$a,b,c$

ثابت کنید

$\frac{a^2}{\sqrt{(b+c)(b^3+c^3)}}+\frac{b^2}{\sqrt{(c+a)(c^3+a^3)}}+\frac{c^2}{\sqrt{(a+b)(a^3+b^3)}}\geq\frac32$

[/center:4a7085dea0]

mohammad2004 · 1389/3/8

پس :

حالا صورت مخرج سمت راستو توی a ضرب میکنیم و 2 رو میاریم تو مخرج و کوشی میزنیم.
باید ثابت کنیم :

که با دو بار استفاده از vasile در میاد.
درسته؟

M_Sharifi · 1389/3/8

درسته. اما سعی کنید نا اون جایی که میشه از نابرابری های ساده تر استفاده کنید.

M_Sharifi · 1389/3/8

[center:4ebd5caa09]

$\300dpi \huge 4$

اعداد حقیقی

$a,b,c$

در رابطه های

$a<2(b+c)$

و

$a<2(b+c)$

و

$c<2(a+b)$

صدق می کنند. ثابت کنید

[/center:4ebd5caa09][center:4ebd5caa09]

$3\leq\frac{4(a^3+b^3+c^3)+15abc}{(a+b+c)(ab+bc+ca)}<6$

[/center:4ebd5caa09]

mohammad2004 · 1389/3/9

سمت چپش که با استفاده از شور و میانگین راحت برای هر 3 عدد در میاد. واسه سمت راستم کافیه اینو باز کنیم :
2b+2c-a )(2c+2a-b)(2a+2b-c ) > 0
رو باز کنیم

behrooz1373 · 1389/3/9

ببخشید میشه یکی بگه نامساوی هولدر چیه؟

Olympiad · 1389/3/9

behrooz1373 گفت

به اينجا مراجعه كنيد....

farid_frd · 1389/3/9

نامساوی هولدر :
اگر

$a_{i},b_{i}\in R^{+}(1\leq i\leq n )$

و

$p,q> 0$

باشند که

$\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1$

آنگاه

$\sum_{i=1}^{n}a_{i}b_{i}\leq (\sum_{i=1}^{n}a_{i}^{p})^{\frac{1}{p}}(\sum_{i=1}^{n}b_{i}^{q})^{\frac{1}{q}}$

M_Sharifi · 1389/3/9

mohammad2004 گفت

سعی کنید راه حل هاتون رو کامل تر بنویسید. مثلا اولین برداشتی که از راه حل شما میشه کرد اینه که فرض کردید a,b,c مثبت اند. ولی توی فرض مسئله چنین چیزی وجود نداره. بنابراین راه حلتون رو باید اصلاح کنید.

M_Sharifi · 1389/3/9

با عرض پوزش از Olympiad که سوالش به خاطر این که قبلا حل شده بود، حذف شد.

[center:774e4135f5]

$\300dpi \huge 5$

[/center:774e4135f5]
اعداد حقیقی و مثبت در رابطه ی

[center:774e4135f5]

$\frac1{1+a+b}+\frac1{1+b+c}+\frac1{1+c+a}\geq1$

[/center:774e4135f5]
صدق می کنند. ثابت کنید

الف)

$a+b+c\geq ab+bc+ca$

ب)

$ab+bc+ca\leq3$

mahanmath · 1389/3/9

$\sum \frac{1}{1+a+b}\leq \sum \frac{c^2+a+b}{(a+b+c)^2}$

من سوال ندارم ...

M_Sharifi · 1389/3/9

قسمت (ب) چی؟

ماراتن نامساوي

آيا شما مايل به راه افتادن تاپيك ماراتن نامساوي مي باشي

بله

خير

New Member

New Member

New Member

New Member

New Member

New Member

New Member

راهبر ریاضی

راهبر ریاضی

New Member

راهبر ریاضی

راهبر ریاضی

New Member

New Member

New Member

New Member

راهبر ریاضی

راهبر ریاضی

New Member

راهبر ریاضی