ماراتن نظریه ی اعداد (سطح پیشرفته)

M_Sharifi · 1389/4/6

[center:628a0520c2]

$\300dpi \huge 1$

دنباله ی

$\{x_n\}_{n\geq1}$

از اعداد طبیعی دارای این ویژگی است که برای هر

$n\in\Bbb N$

داریم

$x_n<x_{n+1}\leq 2n$

. ثابت کنید برای هر عدد طبیعی

$k$

، اندیس های

$r,s$

وجود دارند که

$x_r-x_s=k$

.

[/center:628a0520c2]

mousavi · 1389/4/6

x_1<x_2<...<x_k<x_k+1<=2k
اگر هیچ x_i برابر k نباشد به پیمانه k در نظر میگیریم بنا بر اصل لانه کبوتری ...
اگر وجود داشته باشد و x_k+1 برابر 2k شود ....
و اگر کوچکتر از 2k باشد همه را به جز x_i=k به پیمانه k و بعد لانه کفتری ....!

mousavi · 1389/4/6

شرمنده نیفتاد
x_1<x_2<...<x_k<x_k+1<=2k

M_Sharifi · 1389/4/9

[center:ab06c03836]

$\300dpi \huge 2$

[/center:ab06c03836]
برای هر عدد طبیعی

$n$

ثابت کنید مجموعه ی

$A_n$

شامل

$n$

عدد طبیعی وجود دارد که برای هر

$a\in A_n$

، حاصل ضرب اعضای مجموعه ی

$A_n-\{a\}$

در تقسیم بر

$a$

به باقی مانده ی 1 برسد.

mahanmath · 1389/4/9

M_Sharifi گفت

راهنمایی :

یه مجموعه ی دیگه بسازید که در تقسیم , به باقی مانده ی 1- برسد.

راستی برای هر n نه , n>2 ...

M_Sharifi · 1389/4/11

[center:79c3175b88]

$\300dpi \huge 3$

[/center:79c3175b88]یک عدد طبیعی را ساده می نامیم هرگاه نمایش آن فقط شامل رقم های صفر و یک باشد. کوچک ترین عدد

$n$

را بیایبد که هر عدد طبیعی را بتوان به صورت

$\pm a_1\pm a_2\pm\cdots\pm a_n$

نمایش داد، که

$a_1,a_2,\ldots,a_n$

اعدادی ساده باشند.

M_Sharifi · 1389/6/9

[center:4e2cbb61e6]

$\300dpi \huge 4$

همه ی جواب های صحیح معادله ی

$x^4-6x^2+1=7\times 2^y$

را به دست آورید.

[/center:4e2cbb61e6]

mousavi · 1389/6/9

فرض کنید

$y\geq 5$

(مسلما

$y\geq 0$

)

$(x^2-3)^2=7\times 2^y+8$

$(x^2-3)^2+4^2=7\times 2^y+8\times 3$

$7\times 2^y+8\times 3=8(7\times 2^{y-3}+3)$

$\Rightarrow p\mid 4,(p=4k+3)$

$\Rightarrow y\leq 4$

....

Aref · 1389/6/9

سوال 5
فرض کنید عدد طبیعی n مفروض باشد. همه ی اعداد طبیعی a را چنان بیابید که

$\{\sqrt{a}\}+\{\sqrt{a}\}^2+...+\{\sqrt{a}\}^n$

عددی گویا شود.

M_Sharifi · 1389/6/10

mousavi گفت

سعی کنید راه حل های ساده تر ارائه کنید. توی همون خط اول اگه توان 2 دوطرف رو مقایسه می کردی بلا فاصله y محدود میشد.

M_Sharifi · 1389/6/20

[center:2bc0900fd1]

$\300dpi \huge 6$

[/center:2bc0900fd1]

ثابت کنید همه ی جملات دنباله ی

[center:2bc0900fd1]

$a_0=a_1=1,\quad (n+3)a_{n+1}=(2n+3)a_n+3na_{n-1}$

[/center:2bc0900fd1]

اعدادی صحیح اند.

mousavi · 1389/6/23

M_Sharifi گفت

M_Sharifi · 1389/6/27

جواب 6: با استقرا ثابت کنید

$a_{n+1}=a_n+\sum_{k=0}^na_ka_{n-k}$

.
البته میشه (به سختی) فرمول

[center:eb40502c19]

$a_n=\sum_{k=0}^n{n\choose k}\frac{{2k\choose k}}{k+1}$

[/center:eb40502c19]
را برای دنباله به دست آورد.

M_Sharifi · 1389/6/28

[center:b7911f018a]

$\300dpi \huge 7$

فرض کنید a عددی طبیعی است و برای هر عدد طبیعی n، تعداد ارقام a[SUP]n[/SUP] فرد است. ثابت کنید a توانی از 10 است.

[/center:b7911f018a]

shoki · 1389/6/29

عجیبه

M_Sharifi · 1389/6/29

shoki گفت

اگه

مسئله به این تبدیل می شه که:

حالا با توجه به فرض مسئله داریم :

که در این صورت

اما نباید داشته باشیم

. پس داریم :

و این یعنی

حالا این دفعه به دست میاد

ولی مثل قبلی نتیجه می شه :

و این یعنی

با ادامه دادن این استدلال به دست میاد

که در این صورت با میل دادن n به سمت بی نهایت ...

اینا چرا اینجورین؟

mojtabaaa1373 · 1389/7/20

avalan migam rahe haloamo khodam peida kardam kuchektarin negahi be rahe shoki nandakhtam : darim [log[SUB]10[/SUB]a]=d=2k az tarafi darima age b={log[SUB]10[/SUB]a} bashe darim [n.log[SUB]10[/SUB]a] =nd+[nb] dar natige chon d =2k=>[nb]=2m baraye har m ama darim [2s]-2 <=1 hast banabarin darim pas ye jaei nb baraye avalin bar az 1 bozorgtar mishe banabarin dain marhale az 2 kamtare pas mishe1 ke tanaghoze.

goodnight

armath · 1389/7/24

یک دنباله ی کراندار و اکیدا صعودی را در نظر میگیریم و به تناقض میرسیم و مساله حل میشود.

armath · 1389/7/26

تعداد رقم های a رو در نظر میگیریم، بعد تعداد رقم های توان های دوی a رو به دست میاریم، بعد به رقم های سمت چپ توان های 2 ی a نگاه میکنیم.یه دنباله ی اکیدا صعودی داریم که از طرفی کراندار هم هست. حالا به دست میاد a نمی تونه بین دو توان متوالی ده باشه یعنی a توانی از ده هست. اگه بخواهیم دقیقتر بگیم a باید توانی از صد بشود.

mousavi · 1389/7/29

8
فرض کنید

$\left \{ a_n \right \}$

یک تصاعد حسابی از اعداد طبیعی باشد.برای هر n ,

$p_n$

بزرگ ترین عامل اول

$a_n$

میباشد.ثابت کنید دنباله

$\left \{ \frac{a_n}{p_n} \right \}$

غیر کراندار می باشد.

ماراتن نظریه ی اعداد (سطح پیشرفته)

راهبر ریاضی

New Member

New Member

راهبر ریاضی

New Member

راهبر ریاضی

راهبر ریاضی

New Member

New Member

راهبر ریاضی

راهبر ریاضی

New Member

راهبر ریاضی

راهبر ریاضی

New Member

راهبر ریاضی

Active Member

New Member

New Member

New Member