ماراتن نظریه اعداد (سطح مقدماتی)

sepidfekr · 1393/11/12

پاسخ : ماراتن نظریه اعداد (سطح مقدماتی)

TheOverlord گفت

الان شما میگید کلا جواب نداره؟

TheOverlord · 1393/11/12

پاسخ : ماراتن نظریه اعداد (سطح مقدماتی)

اگه جواب داره بگيد كه ببينيم ايراد راه حل من چيه!

TheOverlord · 1393/11/12

پاسخ : ماراتن نظریه اعداد (سطح مقدماتی)

مگه ٥ بر ٣ بخش پذيره؟؟

REZA 73 · 1393/11/12

پاسخ : ماراتن نظریه اعداد (سطح مقدماتی)

TheOverlord گفت

با فرض اول بودن

$p,q$

:

$(q^m,q)=q\Rightarrow (f(q^m),f(q))|q\Rightarrow q|f(q^m)$

حالا ثابت میکنیم که

$p$

عاد نمیکنه

$f(q^m)$

رو :
برهان خلف:

$p|f(q^m)\Rightarrow p|(f(p),f(q^m))\Rightarrow p|1$

که به وضوح تناقضه.
حالا فرض کنید

$f(q^m)=q^{m+n}$

در این صورت مقادیر

$f(q^{m+1}),f(q^{m+2}),...$

را در نظر بگیرید با توجه به یک به یک بودن خواهیم داشت

$f(q^{m+s}) =q^{m+d}$

در این صورت طبق شرط دوم باید داشته باشیم:

$min(q^{m+n},q^{m+d})|q^m$

که این هم به وضوح تناقضه پس

$f(q^m)=q^m$

.
در حقیقت این نتیجه با توجه به چیزی که ثابت شده و یک به یک بودن به دست اومده.
به طریق مشابه میشه حکم برای

$f(q^m\times ...\times p^n)$

ثابت کرد.

چون که :

$(f(q^m\times ...\times p^n),f(q^{2m}))|q^m$

پس بیشترین تعداد عامل

$q$

مقدار

$f(q^m\times ...\times p^n)$

نمیتواند از

$m$

بیشتر باشد.
بقیه دیگه ساده هستش.
یعنی جواب میشه

$f(x)=x$

.

sepidfekr · 1393/11/12

پاسخ : ماراتن نظریه اعداد (سطح مقدماتی)

TheOverlord گفت

نه ببخشید اشتباه کردم!!!

Dadgarnia · 1393/11/19

پاسخ : ماراتن نظریه اعداد (سطح مقدماتی)

سوال بعد (سوال تقریبا معروفیه!):
دنباله ای از اعداد صحیح برای هر

$k\geq 1$

به این شکل تعریف می شود

$a_{k+2}=a_{k+1}a_k+1$

. برای هر

$k\geq 9$

نشان دهید

$a_k-22$

اول نیست.

REZA 73 · 1393/11/21

پاسخ : ماراتن نظریه اعداد (سطح مقدماتی)

Dadgarnia گفت

ثابت میکنیم که :

$a_{k-6}|a_{k}-22$

برای اثبات کافی است همه ی جملات دنباله را به پیمانه

$a_{k-6}$

در نظر بگیرید. داریم:

$a_{1},a_{2},...,a_{k-7},0,1,1,2,3,7,22,...$

فکر کنم بقیه ش دیگه واضح باشه.شرط

$k\geq 9$

هم که با توجه به روند اثبات معلومه برای چی گذاشته شده!
اگه درسته سوال بذارم.:7:

---- دو نوشته به هم متصل شده است ----

سوال بعدی:
در دنباله ای از اعداد طبیعی اولین و آخرین عضو 1 است و هر عضو دنباله مجموع دو عدد کناری خودش رو عاد میکنه.مثلا جمله 12 ام مجموع جملات 11ام و 13 ام رو عاد میکنه. ثابت کنید در بین اعضا دنباله حتما عدد 2 وجود داره. در ضمن فقط عضو های اول و آخر 1 هستند و بقیه اعضا از 1 بزرگترند.

Dadgarnia · 1393/11/22

پاسخ : ماراتن نظریه اعداد (سطح مقدماتی)

REZA 73 گفت

فرض كنيد دنباله ي ما به اين شكل

$1,a_1,a_2,\cdots,a_n,1$

باشه. حكم رو با استقرا روي n ثابت مي كنيم. براي پايه ي استقرا كه حكم واضحه حالا فرض كنيد حكم براي n-1 درست باشه حكم رو براي n هم ثابت مي كنيم. ابتدا اگه

$a_1=a_2+1$

باشه داريم:

$a_2|a_3+a_1\Rightarrow a_2|a_3+1$

پس اگه

$a_1$

رو از دنباله حذف كنيم به دنباله اي با n-1 عضو مي رسيم كه شرايط سوال رو داره پس با توجه به فرض استقرا حكم در اين حالت بديهيه. حالا فرض مي كنيم

$a_1<a_2$

. اگه داشته باشيم

$a_3=a_2-a_1$

بدست مياد:

$a_3|a_4+a_2,a_1|a_2+1\Rightarrow a_3|a_4+a_1,a_1|a_3+1$

پس مي تونيم

$a_2$

رو از دنباله حذف كنيم كه با توجه به فرض استقرا حكم بديهيه. در غير اينصورت داريم

$a_3>a_2$

. با ادامه ي همين كار تا

$a_n$

مي تونيم مانند اول اثبات حكم رو نتيجه بگيريم.
درسته؟

Dadgarnia · 1393/11/23

پاسخ : ماراتن نظریه اعداد (سطح مقدماتی)

سوال بعد:
تمام اعداد صحيح و مثبت

$(a,b)$

را بيابيد به طوريكه

$a^2+b|a^2b+a \quad , \quad b^2-a|ab^2+b$

amirxxx41 · 1393/11/23

پاسخ : ماراتن نظریه اعداد (سطح مقدماتی)

Dadgarnia گفت

فرض می کنیم

$(a,b)=t$

در این صورت خواهیم داشت

$(a^{2}+b,b^{2}-a)=t$

حالا فرض می کنیم

$[a^{2}+b,b^{2}-a]=k$

باشه
الان از فرض های مسئله استفاده می کنیم که گفته :

$a^{2}+b|a(ab+1) , b^{2}-a|b(ab+1)$

می دونیم که

$k|ab(ab+1) , t|a$

از طرفی

$t|k$

پس

$kt|a^{2}b(ab+1)$

از طرفی به استدلال مشابه داریم

$kt|ab^{2}(ab+1)$

اگه نامساوی رو تو دو عبارت برقرار کنیم خواهیم داشت:

$0\leqslant a^{3}b^{2}-a^{2}b^{3} , 0\leqslant a^{2}b^{3}-a^{3}b^{2}$

که یعنی

$a=b$

و چون

$a,b$

مثبتن و با توجه به فرض هامون

$a=b=1$

که با توجه به فرض دوم چنین اعدادی وجود ندارند
(احتمال قوی غلط حل کردم ! اگه غلط باشه شرمنده ! فعلا یکم درگیر کنکورم !)

Dadgarnia · 1393/11/23

پاسخ : ماراتن نظریه اعداد (سطح مقدماتی)

amirxxx41 گفت

فرض می کنیم

$(a,b)=t$

در این صورت خواهیم داشت

$(a^{2}+b,b^{2}-a)=t$

حالا فرض می کنیم

$[a^{2}+b,b^{2}-a]=k$

باشه
الان از فرض های مسئله استفاده می کنیم که گفته :

$a^{2}+b|a(ab+1) , b^{2}-a|b(ab+1)$

می دونیم که

$k|ab(ab+1) , t|a$

از طرفی

$t|k$

پس

$kt|a^{2}b(ab+1)$

از طرفی به استدلال مشابه داریم

$kt|ab^{2}(ab+1)$

اگه نامساوی رو تو دو عبارت برقرار کنیم خواهیم داشت:

$0\leqslant a^{3}b^{2}-a^{2}b^{3} , 0\leqslant a^{2}b^{3}-a^{3}b^{2}$

که یعنی

$a=b$

و چون

$a,b$

مثبتن و با توجه به فرض هامون

$a=b=1$

که با توجه به فرض دوم چنین اعدادی وجود ندارند
(احتمال قوی غلط حل کردم ! اگه غلط باشه شرمنده ! فعلا یکم درگیر کنکورم !)

بله اشتباه حل كردين چون سوال جواب

$(a,a+1)$

رو داره.

REZA 73 · 1393/11/23

پاسخ : ماراتن نظریه اعداد (سطح مقدماتی)

Dadgarnia گفت

$a^2+b|a^2b+a\Rightarrow a^2+b|(a^2b+a)-(a^2b+b^2)\Rightarrow a^2+b|b^2-a$

$b^2-a|ab^2+b\Rightarrow b^2-a|(b^2a+b)-(b^2a-a^2)\Rightarrow b^2-a|a^2+b$

$b^2-a=a^2+b\Rightarrow b-a=1$

با بررسی به راحتی دیده میشه که جواب

$(a,a+1)$

در صورت سوال صدق میکنه.

---- دو نوشته به هم متصل شده است ----

سوال بعد:
عدد سه رقمی مثله 109 در نظر بگیرید.در هر مرحله ارقام آن را به طور صعودی و نزولی مرتب میکنیم و از هم کم میکنیم و با ارقام به دست آمده دوباره این کار را انجام میدهیم.
مثلا:
910-19=891
981-189=792
972-279=693
963-369=594
ثابت کنید با هر عدد سه رقمی شروع کنیم به عدد 594 میرسیم.
ثابت کنید برای اعداد 4 رقمی هم با عملیات مشابه طی حداکثر 7 مرحله به عدد 6174 میرسیم.

*البته اعدادی مثل 222 و یا 100 که در طی مرحله اول به 0 و 99 میرسند به وضوح مشمول این قضیه نمیشوند.*

sepidfekr · 1393/12/16

پاسخ : ماراتن نظریه اعداد (سطح مقدماتی)

REZA 73 گفت

$a^2+b|a^2b+a\Rightarrow a^2+b|(a^2b+a)-(a^2b+b^2)\Rightarrow a^2+b|b^2-a$

$b^2-a|ab^2+b\Rightarrow b^2-a|(b^2a+b)-(b^2a-a^2)\Rightarrow b^2-a|a^2+b$

$b^2-a=a^2+b\Rightarrow b-a=1$

با بررسی به راحتی دیده میشه که جواب

$(a,a+1)$

در صورت سوال صدق میکنه.

---- دو نوشته به هم متصل شده است ----

سوال بعد:
عدد سه رقمی مثله 109 در نظر بگیرید.در هر مرحله ارقام آن را به طور صعودی و نزولی مرتب میکنیم و از هم کم میکنیم و با ارقام به دست آمده دوباره این کار را انجام میدهیم.
مثلا:
910-19=891
981-189=792
972-279=693
963-369=594
ثابت کنید با هر عدد سه رقمی شروع کنیم به عدد 594 میرسیم.
ثابت کنید برای اعداد 4 رقمی هم با عملیات مشابه طی حداکثر 7 مرحله به عدد 6174 میرسیم.

*البته اعدادی مثل 222 و یا 100 که در طی مرحله اول به 0 و 99 میرسند به وضوح مشمول این قضیه نمیشوند.*

فکر میکنم با استقرا بشه یا راه دیگه داره؟؟؟

m-saghaei · 1393/12/16

پاسخ : ماراتن نظریه اعداد (سطح مقدماتی)

sepidfekr گفت

خوب اگه با استقرا میشه راهتونو بذارین.

Dadgarnia · 1394/1/4

پاسخ : ماراتن نظریه اعداد (سطح مقدماتی)

REZA 73 گفت

واضحه که بعد از یک بار انجام دادن این کار عدد ما بر 99 بخشپذیر میشه پس کافیه اعداد سه رقمی که بر 99 بخشپذیرند رو فقط بررسی کنیم که کار ساده ایه برای چهار رقمی هم که خود شما فرمودین اثبات مسخره ای داره پس میریم سراغ سوال بعد! :4:
آیا دنباله ای از اعداد صحیح مثبت مانند

$a_1,a_2,a_3,\cdots$

وجود دارد به طوری که

$\gcd(a_m,a_n)=1$

اگر و فقط اگر

$|m-n|=1$

؟

Sharifi_M · 1394/1/4

پاسخ : ماراتن نظریه اعداد (سطح مقدماتی)

دنباله ای میخایم بسازیم که مشمول شرط مسئله بشه. خب فرض میکنیم

$a_{1},a_{2}$

رو ساختیم از

$a_{3}$

به بعد هر عدد باید مقسوم علیه مشترکی با

$a_{1}$

داشته باشه و به این دلیل که تعداد مقسوم علیه های

$a_{1}$

محدوده پس میتونیم تعداد محدودی عدد متمایز به این دنباله بیفزاییم! و به این دلیل که طبق شرط مساله هیچ دو عدد برابری در این دنباله وجود ندارد.(چون اگه باشه عدد دارای اندیس بزرگتر با عدد قبل عدد با اندیس کوچکتر دارای ب.م.م 1 میباشند که در تناقض با شرط مساله است) پس در مجموع تعداد عضو های محدودی وجود دارند که بتوان به این دنباله افزود پس نمیتوان یک دنباله با این ویژگی ها ساخت!

Dadgarnia · 1394/1/4

پاسخ : ماراتن نظریه اعداد (سطح مقدماتی)

Moshk گفت

دنباله ای میخایم بسازیم که مشمول شرط مسئله بشه. خب فرض میکنیم

$a_{1},a_{2}$

رو ساختیم از

$a_{3}$

به بعد هر عدد باید مقسوم علیه مشترکی با

$a_{1}$

داشته باشه و به این دلیل که تعداد مقسوم علیه های

$a_{1}$

محدوده پس میتونیم تعداد محدودی عدد متمایز به این دنباله بیفزاییم! و به این دلیل که طبق شرط مساله هیچ دو عدد برابری در این دنباله وجود ندارد.(چون اگه باشه عدد دارای اندیس بزرگتر با عدد قبل عدد با اندیس کوچکتر دارای ب.م.م 1 میباشند که در تناقض با شرط مساله است) پس در مجموع تعداد عضو های محدودی وجود دارند که بتوان به این دنباله افزود پس نمیتوان یک دنباله با این ویژگی ها ساخت!

چرا از

$a_3$

به بعد هر عدد باید مقسوم علیه مشترکی با

$a_1$

داشته باشه؟

Sharifi_M · 1394/1/4

پاسخ : ماراتن نظریه اعداد (سطح مقدماتی)

Dadgarnia گفت

منظورم مقسوم علیه مشترک بزرگتر از یک بود :4:
فرض کنید

$a_{i}$

که i>2 با

$a_{1}$

مقسوم علیه مشترک بزرگتر از 1 نداشته باشن اونوقت:

$gcd(a_{i},a_{1})=1$

در حالی که i-1>1 که با شرط مساله مخالفت میکنه.

Dadgarnia · 1394/1/5

پاسخ : ماراتن نظریه اعداد (سطح مقدماتی)

Moshk گفت

خب باید مقسوم علیه مشترکی داشته باشن ولی آیا متناهی عدد توی رابطه ی

$\gcd(a,a_1)>1$

صدق می کنند؟ فقط مضارب

$a_1$

بی نهایت عددی هستند که توی این رابطه صدق می کنند.

Sharifi_M · 1394/1/5

پاسخ : ماراتن نظریه اعداد (سطح مقدماتی)

خب فرض کنید

$a_{i}$

(i>2)مضربی از

$a_{1}$

باشه، یعنی

$a_{i}=ka_{1}$

(k عدد طبیعیه)خب طبق شرط مساله

$gcd(a_{i+1},a_{i})=1\Rightarrow gcd(a_{i+1},ka_{1})=1\Rightarrow gcd(a_{i+1},a_{1})=1$

درحالی که:i+1-1=i>2

ماراتن نظریه اعداد (سطح مقدماتی)

New Member

New Member

New Member

Active Member

New Member

New Member

Active Member

New Member

New Member

Active Member

New Member

Active Member

New Member

New Member

New Member

New Member

New Member

New Member

New Member

New Member