ماراتن جبر (سطح پیشرفته)

math1998 · 1393/1/22

پاسخ : ماراتن جبر (سطح پیشرفته)

f تابعی روی اعداد حقیقی است.

[img/]

$f(xf(x)+f(y))=(f(x))^2+y$

Dadgarnia · 1393/1/22

پاسخ : ماراتن جبر (سطح پیشرفته)

math1998 گفت

AHZolfaghari · 1393/1/22

پاسخ : ماراتن جبر (سطح پیشرفته)

math1998 گفت

f تابعی روی اعداد حقیقی است.

[img/]

$f(xf(x)+f(y))=(f(x))^2+y$

[/SIZE][/SIZE][/QUOTE]
اول اثبات می کنیم تابع f پوشا و یک به یک هستش که این راحته . x رو ثابت فرض میکنیم و y رو از منفی بی نهایت یا مثبت بی نهایت تغییر میدیم و بدین ترتیب روی اعداد حقیقی پوشا هستش
فرض می کنیم [IMG]http://latex.codecogs.com/gif.latex?f%28y_%7B1%7D%29%20%3D%20f%28y_%7B2%7D%29 و x رو ثابت میذاریم از اینجا بدست میاد که

$y_{1}=y_{2}$

پس یک به یکه.
چون پوشا هست پس یه k وجود داره که

$f(k)=0$

حالا جای x میذاریم k بدست میاد که

$f(f(x))=x$

حالا جای x بذارید صفر بدست میاد که

$f(f(y))=y+f(0)^2$

پس (f(0 برابر با صفر هستش و چون یک به یکه k=0
حالا به جای x بذارید (f(x طرف چپ همون میشه اما طرف راست میشه

$x^2 + f(y)$

پس تابع f تابع همانی یا تابع

$f(x)= -x$

هستش

Dadgarnia · 1393/1/23

پاسخ : ماراتن جبر (سطح پیشرفته)

ببخشید راه حل من برای سوال قبل غلط بود؟

mohy1376 · 1393/1/23

پاسخ : ماراتن جبر (سطح پیشرفته)

Dadgarnia گفت

باید پوشا بودن و یک به یک بودن رو ثابت میکردی بعد ادامه میدادی!

Dadgarnia · 1393/1/23

پاسخ : ماراتن جبر (سطح پیشرفته)

mohy1376 گفت

میشه بگید کجای اثباتم از یک به یک بودن و پوشا بودن استفاده کردم؟
اگه منظورتون اول اثباته که واضح است چنین aای وجود داره فقط کافیه به جای y قرار بدید

$-(f(x))^2$

mohy1376 · 1393/1/23

پاسخ : ماراتن جبر (سطح پیشرفته)

Dadgarnia گفت

آره خوب ، به نظرم مشکلی نداره اگه اولش اینو میگفتی.:39:

AHZolfaghari · 1393/1/23

پاسخ : ماراتن جبر (سطح پیشرفته)

یه مشکلی وجود داره تو اثبات من و جناب

Dadgarnia و اون اینه که الان اثبات شده که ما برای هر x داریم که (f(x یا خود x هستش یا قرینش اما نمیدونیم f همه اعداد به یک فرم هست
بدین منظور فرض میکنیم برای اعداد a,b داریم :

$f(a)=a f(b)=-b$

$x\rightarrow a , y\rightarrow b$

$f(a^2-b)=a^2+b$

که این تناقضه چرا که f هر عدد یا خودشه یا قرینش اما

$a^2+b$

نه قرینه

$a^2 -b$

هستش نه خودشه پس نتیجه میگیریم f همه اعداد به یک فرم هست.:3::3::3::3:

Dadgarnia · 1393/1/23

پاسخ : ماراتن جبر (سطح پیشرفته)

AHZolfaghari گفت

ببخشيد من الان نه فهميدم شما چي رو مي خواين اثبات كنين نه نحوه ي اثباتتونو ميشه يه بار ديگه توضيح بديد
در ضمن كسي نمي خواد سوالي كه من گذاشتمو حل كنه؟

math1998 · 1393/1/23

پاسخ : ماراتن جبر (سطح پیشرفته)

Dadgarnia گفت

ببینید معمولا توابع فقط یک ضابطه دارن مگه تعداد خیلی اندکشون حالا شما وقتی به 2 یا بیشتر از یک جواب میرسین باید ثابت کنین که فقط یکی جوابه در واقع باید یکی از جواب ها رو در نظر بگیرید و ادامه بدید تا به تناقض برسید.

sina.a · 1393/1/25

پاسخ : ماراتن جبر (سطح پیشرفته)

سوال:اعداد حقیقی

$a,b,c\neq 0$

به گونه ای است که به ازای

$x\in \left [ 0,1 \right ]$

,

$\left | f(x) \right |\leq 1$

است و

$f(x)=ax^2+bx+c$

,بیشترین مقدار ممکن برای

را بدست آورید

golsefatan · 1393/3/1

پاسخ : ماراتن جبر (سطح پیشرفته)

sina.a گفت

راهنمایی: در نابرابری قدر مطلق تابع کمتر از 1 است مقادیر 0 و 0.5 و 1 را بگذارید و سعی کنید برای قدرمطلق های a,b,c روابطی بیابید.

aras2213 · 1393/3/5

پاسخ : ماراتن جبر (سطح پیشرفته)

سوال بعد:

$p(x),q(x)$

دو چندجمله ای تکین و تجزیه ناپذیر در

$Q\left [ x \right ]$

هستند.اگرp,q دارای ریشه های

$\alpha ,\beta$

باشند که

$\alpha +\beta \in Q$

نشان دهید چند جمله ای

$p(x)^2-q(x)^2$

یک ریشه گویا دارد.

این سوال، سوال واقعا قشنگیه(البته به نظر من) و کلا دید من رو نسبت به چندجمله ای عوض کرد.:25:

$\rightarrow$

(من بعد از حل این سوال:4

golsefatan · 1393/3/5

پاسخ : ماراتن جبر (سطح پیشرفته)

aras2213 گفت

مگر سوال قبلي حل شد؟!!! اگر با اون راهنمايي حل شد لطفا اول راه حل و جواب را بگوييد بعد سوال بعدي رو بذاريد. ممنون از لطف شما...

Dadgarnia · 1393/3/5

پاسخ : ماراتن جبر (سطح پیشرفته)

aras2213 گفت

ما بايد تو اينگونه مسائل كه مشخص نكرده ضرايب چند جمله اي ها و ... عضو چه مجموعه اي هستند اونا رو مختلط در نظر بگيريم يا حقيقي؟

golsefatan · 1393/3/5

پاسخ : ماراتن جبر (سطح پیشرفته)

dadgarnia گفت

از صورت سوال معلوم است که ضرایب چند جمله ای عضو اعداد گویا هستند. (q به معنای اعداد گویاست).
ولی دوستان اول سوال مربوط به بیشترین مقدار مجموع قددرمطلق ها رو حل کنید و بعد برید سراغ سوال بعدی.
اگر نیاز به راهنمایی بیشتر هست بگید تا راهنمایی کنم یا حل کنم. ممنون از لطف شما دوستان.

Dadgarnia · 1393/3/5

پاسخ : ماراتن جبر (سطح پیشرفته)

جواب 17 ميشه.
اگه به جاي x بذاريم 0, 1, 0.5 بدست مياد:

$-1\leq c\leq 1,-1\leq a+b+c\leq 1,-4\leq a+2b+4c\leq 4$

پس بدست مياد:

$-4\leq 2a+2b+4c\leq 4 \Rightarrow -8\leq a\leq 8\Rightarrow |a|\leq 8$

و به همين ترتيب داريم

$-6\leq b+2c\leq 6\Rightarrow -8\leq b\leq 8\Rightarrow |b|\leq 8$

حالا واضحه كه تابع

$f(x)=8x^2-8x+1$

در شرايط مسئله صدق مي كنه.

math1998 · 1393/3/8

پاسخ : ماراتن جبر (سطح پیشرفته)

فرض f(n) تابعی جایگشتی باشد ان را بیابید.

[img/]

$f :(1,2,...,n)\rightarrow (1,2,...,n)$

$\sum_{i=1}^{n}\frac{f(i)}{i}=n$

aras2213 · 1393/3/8

پاسخ : ماراتن جبر (سطح پیشرفته)

طبق نامساوی حسابی هندسی:

$\frac{f(1)}{1}+...+\frac{f(n)}{n}\geq n\sqrt[n]{\frac{f(1)f(2)...f(n)}{n!}}=n$

پس حالت تساوی رخ داده.به راحتی نتیجه میشه f(1)=1و تابع همانیه

---- دو نوشته به هم متصل شده است ----

سوال بعد:

$p(x),q(x)$

دو چندجمله ای تکین و تجزیه ناپذیر در

$Q\left [ x \right ]$

(هم ضرایبشان گویاست و هم در مجمو عه ی اعداد گویا تجزیه ناپذیرند)هستند.اگرp,q دارای ریشه های

$\alpha ,\beta$

باشند که

$\alpha +\beta \in Q$

نشان دهید چند جمله ای

$p(x)^2-q(x)^2$

یک ریشه گویا دارد.

math · 1393/3/8

پاسخ : ماراتن جبر (سطح پیشرفته)

aras2213 گفت

سوال قبل با استفاده از نامساوی جایگشتی نیز نابود میشود !!!!

این سوال رو قبلا نگذاشته بودید ؟؟

ماراتن جبر (سطح پیشرفته)

New Member

New Member

Well-Known Member

New Member

Well-Known Member

New Member

Well-Known Member

Well-Known Member

New Member

New Member

New Member

New Member

New Member

New Member

New Member

New Member

New Member

New Member

New Member

New Member