ماراتن جبر (سطح پیشرفته)

aras2213 · 1393/3/8

پاسخ : ماراتن جبر (سطح پیشرفته)

با من هستید؟(طبیعتن چون پست من رو نقل قول کردید با من هستید!)
آره ولی کسی پاسخ نداده بود.اشکالی که نداره؟اگه اشکال داره عوض کنم سوال رو؟

Dadgarnia · 1393/3/8

پاسخ : ماراتن جبر (سطح پیشرفته)

aras2213 گفت

الان يه سوال براي من پيش اومده اگه درجه ي (p(x يك باشه اون وقت اين چند جمله اي فقط يكي ريشه داره كه اون گوياست پس (q(x هم يه ريشه ي گويا داره و ما مي تونيم (q(x رو به دو چند جمله اي با ضرايب گويا تجزيه كنيم كه اين با فرض سوال در تناقضه.

math · 1393/3/8

پاسخ : ماراتن جبر (سطح پیشرفته)

Dadgarnia گفت

چرا ریشه ی p گویاست ؟؟

aras2213 · 1393/3/8

پاسخ : ماراتن جبر (سطح پیشرفته)

Dadgarnia گفت

(q(x رو نمیتونیم به دلخواه انتخاب کنیم.یعنی (p(x),q(x به ما داده شدن که شرایط مساله رو دارن.تو این حالتی که شما فرمودین برای این که شرایط برقرار باشه الزاما باید درجه q یک باشه.
این چیزی که پایین میگم هم برا اینه که بتونید بهتر رو مساله فکر کنید،البته این چیزهایی که میگم ممکنه دقیق نباشه و بر اساس چیزهایی که شنیدم و خوندمه

(استاد math اگه اشتباهی داشت بگید تصحیح کنم)
اگه برای عدد(حقیقی یا مختلط)

$\alpha$

یه چند جمله ای تکین با ضرایب گویا وجود داشته باشه که

$\alpha$

ریشه اون باشه بین این جور چند جمله ای ها چند جمله ای با کوچکترین درجه رو چندجمله ای مینیمال

$\alpha$

میگیم(کلا ضرایب صحیح یا گویا بودنشون مهم نیست یعنی در واقع داریم یه عدد صحیح رو در چندجمله ای ضرب میکنیم مثلا میتونستیم بگیم چندجمله ای با ضرایب صحیح رو بگیرید که درجه آن از همه کمتر است و ب.م.م ضرایب آن 1 است)یکی از خواص چندجمله ای مینیمال اینه:
اگه چندجمله مینیمال

$\alpha$

،

$p(x)$

باشه اون وقت اگه برای یه چندجمله ای مثل q با ضرایب گویا،

$q(\alpha )=0$

اون وقت:

$p(x)\mid q(x)$

حالا تو این مساله p,q چند جمله ای های مینیمال

$\alpha ,\beta$

هستند.

aras2213 · 1393/3/9

پاسخ : ماراتن جبر (سطح پیشرفته)

این هم ادامه راه حل:

$\alpha$

ریشه

$q(\alpha +\beta -x)$

است و چون

$\alpha +\beta \in Q$

ضرایب این چند جمله ای گویاست.پس طبق گفته های بالا

$p(x)\mid q(\alpha +\beta -x)$

.به طریق مشابه

$q(x)\mid p(\alpha +\beta -x)$

با کمی بررسی میتوان فهمید که

$\left | p(\frac{\alpha +\beta }{2}) \right |=\left | q(\frac{\alpha +\beta }{2}) \right |$

.پس

$p(\frac{\alpha +\beta }{2})^2-q(\frac{\alpha +\beta }{2})^2=0,\frac{\alpha +\beta }{2}\in Q$

.
سوال بعد:
همه چند جمله ای های باضرایب حقیقی رو پیدا کنید که اگر

$p(a)$

صحیح باشد، a هم صحیح باشد.(برای هر a)هر کی حل کرد سوال بعد رو بزاره لطفا:87:

golsefatan · 1393/3/9

پاسخ : ماراتن جبر (سطح پیشرفته)

چند جمله ای x جواب است! x/3 , x/2 , ... هم جواب اند! منفی های این ها هم جواب است!!!

aras2213 · 1393/3/9

پاسخ : ماراتن جبر (سطح پیشرفته)

golsefatan گفت

بله درسته.ولی سوال گفته همه این جور چندجمله ای هایی رو پیدا کنید که یه شکل به صورت مثلا ax+b میخواد

golsefatan · 1393/3/9

پاسخ : ماراتن جبر (سطح پیشرفته)

aras2213 گفت

تمام چند جمله ای ها ی ax+b جواب هستند به شرطی که b عددی صحیح باشد و a به صورت وارون اعداد صحیح (به جز صفر)
فکر کنم تنها جواب ها هم همین ها باشند. البته مطمئن نیستم...

aras2213 · 1393/3/9

پاسخ : ماراتن جبر (سطح پیشرفته)

golsefatan گفت

تقریبا همین چیزیه که فرمودید فقط یکم تفاوت داره

golsefatan · 1393/3/10

پاسخ : ماراتن جبر (سطح پیشرفته)

aras2213 گفت

چندجمله اي هاي به شكل

$\frac{1}{k}x+\frac{m}{k}$

كه k عددي صحيح مخالف صفر و m عددي صحيح است.
فكر كنم هنوز با بازي كردن با a و b بتوان چند جمله اي هاي مشابه پيدا كرد...

aras2213 · 1393/3/10

پاسخ : ماراتن جبر (سطح پیشرفته)

golsefatan گفت

جواب همینه(به جز چند جمله ای ثابت)

golsefatan · 1393/3/10

پاسخ : ماراتن جبر (سطح پیشرفته)

aras2213 گفت

پس مي مونه اثبات اين كه ديگه جوابي نداريم...
فكر كنم با برهان خلف و قوانين چند جمله اي ها بايد به تناقض رسيد ...

aras2213 · 1393/3/28

پاسخ : ماراتن جبر (سطح پیشرفته)

aras2213 گفت

جواب سوال:

http://www.artofproblemsolving.com/Forum/viewtopic.php?t=392444

سوال بعد رو هم یکی از دوستان بزاره:65:

MNikdan · 1393/3/28

پاسخ : ماراتن جبر (سطح پیشرفته)

تمام توابع

را بیابید به طوری که :

به ازای هر

حقیقی.

لهستان 2008 سوال 3

Dadgarnia · 1393/3/28

پاسخ : ماراتن جبر (سطح پیشرفته)

MNikdan گفت

ابتدا x=y=0 رو قرار ميديم كه بدست مياد:
(1)

$f(f(0))=2f(0)$

و با قرار دادن (f(x به جاي y بدست مياد:
(2)

$f(0)=f(x)+f(f(f(x))-f(-x))+x$

حالا x=0 رو در رابطه ي بالا جايگذاري مي كنيم و با توجه به (1) داريم:

$f(0)=f(0)+f(f(f(0))-f(0))=f(0)+f(f(0))=3f(0)\Rightarrow f(0)=0$

با قرار دادن x به جاي y و صفر به جاي x در رابطه ي اصلي مسئله داريم:

$f(-x)=f(f(x))$

با قرار دادن اين رابطه در (2) بدست مياد:

$f(x)=-x$

كه در صورت سوال هم صدق مي كنه.
سوال بعد:
تمام توابع

$f:\mathbb{Q}^+\rightarrow \mathbb{Q}^+$

بيابيد به طوريكه براي هر

$x,y \in \mathbb{Q}^+$

داشته باشيم:

$f(f(x)^2y)=x^3f(xy)$

MNikdan · 1393/3/28

پاسخ : ماراتن جبر (سطح پیشرفته)

فرض کنید

$f(f(x)^2y)=x^3f(xy)$

برابر با

$P(x,y)$

باشه.
داریم :

$P(x,1):f(f(x)^2)=x^3f(x)$

که به وضوح نتیجه می ده که تابع یک به یکه.

$P(1,1):f(f(1)^2)=f(1)\Rightarrow f(1)=1$

حالا با توجه به این که

$f(1)=1$

داریم :

$P(x,\frac{1}{f(x)^2}):1=x^3f(\frac{x}{f(x)^2})\Rightarrow f(\frac{x}{f(x)^2})=\frac{1}{x^3}$

$P(\frac{1}{x},x): f(f(\frac{1}{x})^2x)=\frac{1}{x^3}$

حالا با توجه به یک به یک بودن تابع داریم :

$f(\frac{1}{x})^2x=\frac{x}{f(x)^2}\Rightarrow f(\frac{1}{x})=\frac{1}{f(x)}$

به این رابطه میگیم رابطه ی I.
داریم :

$P(\frac{1}{x},\frac{1}{x}):f(f(\frac{1}{x})^2\frac{1}{x})=\frac{1}{x^3}f(\frac{1}{x^2})$

که با چند بار استفاده از رابطه ی I به دست می آد :

$f(f(x)^2x)=\frac{f(x^2)}{x^3}$

از طرفی :

$P(x,x):f(f(x)^2x)=x^3f(x^2)$

پس :

$x^3f(x^2)=\frac{f(x^2)}{x^3}\Rightarrow x^6=1\Rightarrow x=1$

که با دلخواه بودن

$x$

در تناقضه. پس چنین تابعی وجود نداره ...
امیدوارم جوب نزده باشم !
(خودمونیم، پدرم در اومد! ببخشید طولانی شد)

راستی سوال ندارم. یه نفر زحمتشو بکشه ...

Dadgarnia · 1393/3/28

پاسخ : ماراتن جبر (سطح پیشرفته)

MNikdan گفت

اين رابطه ي بالا غلطه.

aras2213 · 1393/3/28

پاسخ : ماراتن جبر (سطح پیشرفته)

Dadgarnia گفت

لینک(به قول استاد nima1376:204

:

AoPS Forum - f(f(x)^2*y)=x^3f*(xy) • Art of Problem Solving

راه حل آخریه هم مال ایشونه...

---- دو نوشته به هم متصل شده است ----

سوال بعد:
همه توابع

$f:\mathbb{Q}\rightarrow \mathbb{Q}$

را بیابید به طوری که:

$(\forall x,y\in \mathbb{Q})$

$f(x+f(x)+2y)=2x+2f(f(y))$

Dadgarnia · 1393/3/30

پاسخ : ماراتن جبر (سطح پیشرفته)

aras2213 گفت

ابتدا ثابت مي كنيم اين تابع پوشاست. رابطه ي اصلي مسئله را (1) نامگذاري مي كنيم. در رابطه ي (1)

$x=\frac{1}{2}a-f(f(y))$

را جايگذاري مي كنيم كه نشان مي دهد تابع پوشاست.
پس aاي موجود است كه داشته باشيم f(a)=0. در رابطه ي (1) x=y=0 را جايگذاري مي كنيم كه بدست مياد

$f(f(0))=0$

و با گذاشتن x=a
و y=0 در رابطه ي (1) بدست مياد a=0 پس f(0)=0 است.y=0 را در رابطه ي (1) جايگذاري مي كنيم پس داريم:

$f(x+f(x))=2x$

و با جايگذاري x=0 و y=x در رابطه ي (1) داريم:

$f(2x)=2f(f(x))$

با جايگذاري دو رابطه ي اخير در (1) بدست مياد:

$f(x+f(x)+2y)=f(x+f(x))+f(2y)$

حالا داريم:

$x+f(x)=k\Rightarrow 2x=f(x+f(x))=f(k)\Rightarrow x=\frac{1}{2}f(k)$

پس (x+f(x هم پوشاست و به ازاي هر

$x,y\in \mathbb{Q}$

داريم:

$f(x+y)=f(x)+f(y)$

و مي توان به راحتي ثابت كرد كه

$f(x)=Cx$

با جايگذاري اين رابطه در (1) بدست مياد C=1 پس داريم

$f(x)=x$

سوال بعد:
تمام توابع

$f,g:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$

را بيابيد به طوريكه براي هر

$x,y \in \mathbb{R}$

داشته باشيم:

$g(f(x)-y)=f(g(y))+x$

aras2213 · 1393/3/30

پاسخ : ماراتن جبر (سطح پیشرفته)

Dadgarnia گفت

فرض کنید (p(x,y رابطه ی اصلی مساله باشه،در این صورت:
(1)

$p(x,0)\rightarrow g(f(x))=f(g(0))+x$

(2)

$p(x,f(x))\rightarrow g(0)=f(g(f(x)))+x$

با جایگذاری اولی در دومی بدست میاد:

$f(g(0))=a,g(0)=b\rightarrow f(x+a)=-x+b\xrightarrow[]{x=x-a}f(x)=-x+a+b$

با جایگذاری این در رابطه ی اول بدست میاد:

$g(f(x))=g(-x+a+b)=x+a\xrightarrow[]{x=x+a+b} g(x)=-x+2a+b$

حالا اگه اینا رو توی رابطه اصلی مساله بزاریم بدست میاد a=0 پس f,g این شکلی اند:

$f(x)=g(x)=-x+b,b\in \mathbb{R}$

.

---- دو نوشته به هم متصل شده است ----

اگه درسته این هم سوال بعد:
همه ی چند جمله ای ها با ضرایب حقیقی مانند (p(x را بیابید به طوری که:

$p(x+p(x))=p(x)+p(p(x))$

ماراتن جبر (سطح پیشرفته)

New Member

New Member

New Member

New Member

New Member

New Member

New Member

New Member

New Member

New Member

New Member

New Member

New Member

New Member

New Member

New Member

New Member

New Member

New Member

New Member