سوالات tst 2015 ایران رشته ریاضی

Dadgarnia · 1394/2/21

1- تمام چند جمله ای های

$P,Q\in \Bbb{Q}\left [ x \right ]$

را بیابید به طوریکه داشته باشیم

$P(x)^3+Q(x)^3=x^{12}+1$

2- در مثلث

$ABC$

،

$A'$

وسط کمان

$BC$

(کمانی که شامل راس

$A$

نیست) از دایره ی محیطی مثلث

$ABC$

و

$I_{b}$

مرکز دایره ی محاطی خارجی رو به رو به راس

$B$

است. اگر

$A'I_b$

دایره ی محیطی را در نقطه ی

$K$

قطع کند (

$K\neq A'$

) نشان دهید:

$KI_b^2=KB\cdot KC$

3- فرض کنید

$a_1<a_2<\cdots$

دنباله ی همه ی اعداد طبیعی باشد که می توان آن ها را به صورت جمع دو مربع کامل نوشت. نشان دهید بی نهایت

$n$

وجود دارد به طوریکه

$a_{n+1}-a_n=2015$

.

TheOverlord · 1394/2/21

پاسخ : سوالات tst 2015 ایران روز اول

سوال اول روز دوم : Community - Art of Problem Solving
سوال دوم روز دوم : Community - Art of Problem Solving
سوال سوم روز دوم : Community - Art of Problem Solving

AHZolfaghari · 1394/2/21

پاسخ : سوالات tst 2015 ایران روز اول

Dadgarnia گفت

برای روز اول :

برای سوال یک اول دو طرف تساوی رو با اتحاد باز می کنیم :

$(P(x)+Q(x))(P(x)^2+Q(x)^2-P(x)Q(x))=(x^4+1)(x^8-x^4+1)$

و از این نکته استفاده می کنیم که دو چند جمله ای

$x^4+1$

,

$x^8-x^4+1$

تحویل ناپذیر در

$\mathbb{Z}[x]$

هستند .( می توانید این دو را خودتون اثبات کنید )

پس

$P(x)+Q(x)=1 or P(x)+Q(x)=x^4+1$

که می توان به راحتی به جواب رسید . تنها جواب مساله فکر می کنم

$\left \{ P(x),Q(x) \right \}=\left \{ x^4,1\right \}$

. ( واقعا خودم حالت های خاص و ... رو چک نکردم !! )

برای سوال 2 هم حکم سوال رو از تشابه دو مثلث

$KCI_b$

,

$KBI_b$

نتیجه می گیریم .

ابتدا واضح است که :

$\angle BKI_B= \angle CKI_b = 180 - \angle \frac{A}{2}$

حالا میدونیم که :

$\angle KBI_b + \angle KI_bB = \angle \frac{A}{2}$

از طرفی :

$\angle KBI_b + \angle KCI_b + \angle BI_bC = \angle A$

$\angle BI_bC = 90 - \angle \frac{C}{2} - \angle \frac{B}{2} = \angle \frac{A}{2}$

پس :

$\angle KBI_b + \angle KCI_b = \angle \frac{A}{2}$

پس

$\angle KCI_b = \angle KI_bB$

پس

$\triangle KCI_b \sim \triangle KI_bB$

با نوشتن نسبت اضلاع به خواسته مساله می رسیم .

آقای پویا و سایر دوستان جواب رو چک کنند ! لطفا !

Dadgarnia · 1394/2/22

پاسخ : سوالات tst 2015 ایران روز اول

AHZolfaghari گفت

به نظر من که راه حلاتون درسته.
سوال سه روز اول:

$p_1,p_2,\cdots,p_{2014}$

رو اعداد اول دلخواه و دو به دو متمایز و به شکل

$4k+3$

و

$m$

رو یه عدد طبیعی دلخواه در نظر می گیریم. دستگاه معادلات همنهشتی زیر رو در نظر بگیرین:

$x\equiv 5\pmod {16}$

$x\equiv 0\pmod {5}$

$x\equiv p_1^{2m-1}-1\pmod {p_1^{2m}}$

$x\equiv p_2^{2m-1}-2\pmod {p_2^{2m}}$

.
.
.

$x\equiv p_{2014}^{2m-1}-2014\pmod {p_{2014}^{2m}}$

این دستگاه طبق قضیه ی باقی مانده چینی جواب داره حالا اگه یه جواب مثل

$x$

رو در نظر بگیریم

$x$

و

$x+2015$

رو میشه به شکل مجموع دو مربع کامل نوشت ولی اعداد

$x+1,x+2,\cdots,x+2014$

رو نمیشه به شکل مجموع دو مربع کامل نوشت پس حکم سوال ثابت میشه.

aras2213 · 1394/2/22

پاسخ : سوالات tst 2015 ایران روز اول

Dadgarnia گفت

به نظر من که راه حلاتون درسته.
سوال سه روز اول:

$p_1,p_2,\cdots,p_{2014}$

رو اعداد اول دلخواه و دو به دو متمایز و به شکل

$4k+3$

و

$m$

رو یه عدد طبیعی دلخواه در نظر می گیریم. دستگاه معادلات همنهشتی زیر رو در نظر بگیرین:

$x\equiv 5\pmod {16}$

$x\equiv 0\pmod {5}$

$x\equiv p_1^{2m-1}-1\pmod {p_1^{2m}}$

$x\equiv p_2^{2m-1}-2\pmod {p_2^{2m}}$

.
.
.

$x\equiv p_{2014}^{2m-1}-2014\pmod {p_{2014}^{2m}}$

این دستگاه طبق قضیه ی باقی مانده چینی جواب داره حالا اگه یه جواب مثل

$x$

رو در نظر بگیریم

$x$

و

$x+2015$

رو میشه به شکل مجموع دو مربع کامل نوشت ولی اعداد

$x+1,x+2,\cdots,x+2014$

رو نمیشه به شکل مجموع دو مربع کامل نوشت پس حکم سوال ثابت میشه.

چرا؟(میگه طول نوشته بسیار کوتاه است برا همین عبارت داخل پرانتز رو نوشتم)

Dadgarnia · 1394/2/22

پاسخ : سوالات tst 2015 ایران روز اول

aras2213 گفت

بله درسته. اگه تونستم جوبش رو بر طرف كنم پستمو ويرايش مي كنم.

حمید آنالیز · 1394/2/25

پاسخ : سوالات tst 2015 ایران روز اول

یه سوال مگه کلا سه تا ازمون ویا همون 6 روز نیستش؟؟؟نتایجش کی میاد آقا پویا شما انگاری خوب دادین و iran 1میشین.

Dadgarnia · 1394/2/26

پاسخ : سوالات tst 2015 ایران روز اول

امتحان دوم روز اول:

1- نمي دونم!
2- در مثلث

$ABC$

،

$I$

مركز دايره ي محاطي داخلي و

$F$

پاي نيمساز راس

$A$

و

$E$

پاي عمود رسم شده از

$I$

بر

$BC$

است. از

$A$

خطي موازي با

$BC$

رسم مي كنيم تا دايره ي محيطي مثلث را در

$D$

قطع كند.

$X$

را طوري روي

$ED$

انتخاب مي كنيم كه

$AEFX$

محاطي شود. ثابت كنيد

$IA=IX$

.
3- حد اكثر چند مستطيل

$1\times 2$

يا

$2\times 1$

مي توان در صفحه قرار داد به طوريكه اشتراك مساحت هر دو تا از آن ها دقيقا يك باشد. (اضلاع مستطيل موازي محور هاي مختصات هستند.)

امتحان دوم روز دوم:

1-

$X,Y,Z$

نقاطي در صفحه مثلث

$ABC$

هستند به طوريكه

$X$

داخل مثلث و

$Y,Z$

بيرون از مثلث هستند و

$AX\perp BC,BY\perp CA,CZ\perp AB$

و

$\angle BXC=90,\angle CYA=90,\angle AZB=90$

ثابت كنيد

$X,Y,Z$

هم خطند اگر و فقط اگر طول مماسي كه از

$A$

بر دايره ي نه نقطه رسم مي شود برابر با حاصل جمع طول مماسي كه از

$B$

بر دايره نه نقطه رسم مي شود و طول مماسي كه از

$C$

بر دايره نه نقطه رسم مي شود باشد.
2- همه ي

$n$

هايي را بيابيد كه جايگشتي از اعداد 1 تا

$n$

وجود داشته باشد كه براي هر

$i<j<k$

داشته باشيم

$n\nmid a_i+a_k-2a_j$

.
3-

$a,b,c$

اعدادي حقيقي و مثبت با شرط

$a+b+c=abc$

هستند ثابت كنيد:

$\sum _{cyc}\frac{a}{a^2+1}\leq \frac{abc}{3\sqrt{2}}\left ( \sum_{cyc}\frac{\sqrt{a^3+b^3}}{ab+1} \right )$

AHZolfaghari · 1394/2/26

پاسخ : سوالات tst 2015 ایران رشته ریاضی

سوالات روز سوم و چهارم رو گروه فراکتال گذاشته .
روز سوم :
http://bayanbox.ir/view/8171732263116057007/3.jpg
روز چهارم :
http://bayanbox.ir/view/7839176468928030636/4.jpg

اما انگار که سوال 1 روز سوم غلطه چون اگه همرو 2 بذاریم نامساوی غلط میشه .

---- دو نوشته به هم متصل شده است ----

سوالات روز سوم و چهارم رو گروه فراکتال گذاشته .
روز سوم :
http://bayanbox.ir/view/8171732263116057007/3.jpg
روز چهارم :
http://bayanbox.ir/view/7839176468928030636/4.jpg

اما انگار که سوال 1 روز سوم غلطه چون اگه همرو 2 بذاریم نامساوی غلط میشه .

حمید آنالیز · 1394/2/26

پاسخ : سوالات tst 2015 ایران رشته ریاضی

AHZolfaghari گفت

دیگه اینو کجای دلم بزارم که تست ایرانم اشکال داره!!!!:4

اون از کامپیوترش اینم از ریاضی !!!)

AHZolfaghari · 1394/2/26

پاسخ : سوالات tst 2015 ایران رشته ریاضی

حمید آنالیز گفت

نه مشکل از سوال نبوده . مشکل از شخص یا اشخاصی بوده که سوال ها رو بیرون دادند که این طوری شده .

---- دو نوشته به هم متصل شده است ----

حمید آنالیز گفت

نه مشکل از سوال نبوده . مشکل از شخص یا اشخاصی بوده که سوال ها رو بیرون دادند که این طوری شده .

AHZolfaghari · 1394/2/28

پاسخ : سوالات tst 2015 ایران رشته ریاضی

گروه فراکتال اصلاحیه رو نوشته . در اصل عبارت سوال 1 روز سوم abcd + 16 هست نه abcd + 1

---- دو نوشته به هم متصل شده است ----

گروه فراکتال اصلاحیه رو نوشته . در اصل عبارت سوال 1 روز سوم abcd + 16 هست نه abcd + 1

Dadgarnia · 1394/2/28

پاسخ : سوالات tst 2015 ایران رشته ریاضی

AHZolfaghari گفت

جالبه همه ي سوالاي نامساوي TST با حسابي هندسي حل ميشن! براي اين سوال با استفاده از حسابي هندسي و يه كم ساده سازي داريم:

$8\sqrt{\left ( a+c \right )\left ( \frac{1}{a}+\frac{1}{c} \right )}+8\sqrt{\left ( b+d \right )\left ( \frac{1}{b}+\frac{1}{d} \right )}\leq \frac{4(ab+cd)(bc+ad)}{abcd}+16$

$\leq \frac{\left ( \sum _{cyc} ab\right )^2}{abcd}+16=abcd+16$

mahanmath · 1394/2/28

پاسخ : سوالات tst 2015 ایران روز اول

Dadgarnia گفت

اگه اشتباه نکنم با این حل می شه:

$\\ \frac{a}{a^2 + 1} = \frac{abc}{(a+b)(a+c)} \\ \\ \\ \Rightarrow \frac{\sqrt{a^3 + b^3}}{ab+1} \geq \frac{\sqrt{ab(a+b)}}{ab+1} \geq \frac{\sqrt{ab(a+b)}}{\sqrt{\left ( a^2 +1 \right )\left ( b^2 + 1 \right )}} \\ \\ = \frac{abc}{\sqrt{\prod (a+b)}}$

Dadgarnia · 1394/2/28

پاسخ : سوالات tst 2015 ایران روز اول

mahanmath گفت

بله راهش همينجوريه استاد و بقيش فقط حسابي هندسيه.

mahanmath · 1394/2/28

پاسخ : سوالات tst 2015 ایران روز اول

Dadgarnia گفت

مرسی! من خیلی تعجب می کنم از این سوال ها. برای زمینه ی جبر باید یه فکر اساسی کنیم! :3:

Dadgarnia · 1394/2/28

پاسخ : سوالات tst 2015 ایران روز اول

mahanmath گفت

بله منم با شما موافقم. سوالاي اول امتحان اول و دوم كه واقعا من فكر نمي كنم براي بچه هاي دوره طلا حلشون به بيشتر از يه ربع كشيده باشه و توي نتايج تاثيري بذاره حالا بازم اين سوال سه يه خورده سخت تر بود. سوالاي روز پنجم هم كه من ديدم نفهميدم سوال سومش جبر بود يا تركيبيات اما شايد توي روز ششم يه فرجي بشه!
مي تونم بدونم سوالاي نظريه اعداد رو چه كساني طرح كردن؟

mahanmath · 1394/2/28

پاسخ : سوالات tst 2015 ایران روز اول

Dadgarnia گفت

البته اون بنده خدا ها سر جلسه خیلی استرس دارن، اصلا با ما قابل مقایسه نیست شرایطشون.

من خبر ندارم که طراح ها رو میشه علناً گفت یا نه دقیقاً، ولی خیلی نظریه های قشنگی داشت.
(فکر کنم بعد از اعلام نتایج مشخص میشه)

Dadgarnia · 1394/2/28

پاسخ : سوالات tst 2015 ایران روز اول

mahanmath گفت

راه حل شما براي سوال سه روز اول چي بوده؟ به نظرتون اين ايده ي من به جواب ميرسه؟

Dadgarnia گفت

---- دو نوشته به هم متصل شده است ----

اينم سوال سوم روز اول امتحان سوم (به نظر من كه بيشتر به جبر مي خوره):

$a_1,a_2,\cdots,a_n,b_1,b_2,\cdots,b_n$

اعداد حقيقي و مثبت هستند و هر دو دسته ي اين اعداد رو ميشه به دو دسته با مجموع برابر تقسيم كرد. ثابت كنيد ميشه يه

$2n$

ضلعي با اضلاع موازي محور ها ساخت به طوريكه

$a_i$

ها خطوط عمودي و

$b_i$

ها خطوط افقي اون باشن (هر دو ضلعي كه در نظر بگيريم بايد فقط يه نقطه ي اشتراك داشته باشند و توي شكل

$2n$

راس وجود داره).

TheOverlord · 1394/2/29

پاسخ : سوالات tst 2015 ایران روز اول

Dadgarnia گفت

اين سوال تركيبيات بود.
ولي انصافا دمشون گرم با ترتيب گذاري سوالاشون يعني اصلا سر روز اول و چهارم قشنگ هدف له كردن بود.

سوالات tst 2015 ایران رشته ریاضی

New Member

New Member

Well-Known Member

New Member

New Member

New Member

Well-Known Member

New Member

Well-Known Member

Well-Known Member

Well-Known Member

Well-Known Member

New Member

New Member

New Member

New Member

New Member

New Member

New Member

New Member