ماراتن نامساوي

Dadgarnia · 1393/8/14

پاسخ : ماراتن نامساوي

من فقط اثبات اينكه k كوچكتر يا مساوي ٣ هست رو اينجا مي نويسم تا حداقل مشخص بشه چي رو مي خوايم اثبات كنيم:
اگه دو تا يك بديم بدست مياد:

$\frac{a^3}{ka^2+1}+\frac{1}{k+a^2}\geq \frac{a+1}{k+1}$

حالا اگه طرفين وسطين كنيم و يه كم ساده كنيم بدست مياد:

$(a^4-a^3-a^2+a)k\leq a^5-a^3-a^2+1$

$\Leftrightarrow a(a+1)(a-1)^2k\leq (a+1)(a-1)^2(a^2+a+1)$

اگه a يك نباشه بدست مياد

$k\leq \frac{a^2+a+1}{a}$

كه حداقل اين عبارت هم برابر با ٣ هست و اگه a يك باشه حالت تساوي رخ ميده.

sepidfekr · 1393/8/16

پاسخ : ماراتن نامساوي

دوستان بهتر نیست سوال بعد رو بزاریم؟؟؟چون واقعا ماراتن خوابیده:4::4::4:

---- دو نوشته به هم متصل شده است ----

سوال بعد:

m-saghaei · 1393/8/16

پاسخ : ماراتن نامساوي

sepidfekr گفت

بهتر بود میزاشتید سوال قبل حل شه بعد سوال بعد رو بزارید.

sepidfekr · 1393/8/16

پاسخ : ماراتن نامساوي

m-saghaei گفت

من از چند تا از دوستان پرسیدم گفتن بزارم انشاالله سوال قبلی رو آقای شریفی میان و حل میکنن

MGH000 · 1393/8/17

پاسخ : ماراتن نامساوي

گه اشتباه نکرده باشم اینه جواب سوال:

$-\sum \frac{a^{3}}{ka^{2}+b^{2}}\leq -\sum \frac{a}{k+1}$

$-\sum \frac{a^{3}}{ka^{2}+b^{2}}+\sum a=\sum \frac{(k-1)a^{3}+ab^{2}}{ka^{2}+b^{2}}\leq -\sum \frac{a}{k+1}+\sum a=\frac{k\sum a}{1+k}$

یک حسابی هندسی در مخرج طرف کوچکتر میزنیم

$\frac{2k}{k+1}\sum a\geq \sum \frac{(k-1)a^{3}+ab^{2}}{ab\sqrt{k}}$

$\frac{2k}{k+1}\sum a\geq \frac{(k-1)a^{2}}{b\sqrt{k}}+\frac{1}{\sqrt{k}}\sum a$

$\frac{2k\sqrt{k}-k-1}{k+1}\sum a\geq (k-1)\sum \frac{a^{2}}{b}$

اگر k یک نبود:

$\frac{2k\sqrt{k}-k-1}{(k-1)(k+1)}\sum a\geq \sum \frac{a^{2}}{b}$

$\frac{2k\sqrt{k}-k-1}{(k-1)(k+1)}\geq \frac{\sum \frac{a^{2}}{b}}{\sum a}$

آیا

$2k\sqrt{k}-k-1\leq (k-1)(k+1)$

آیا

$2\sqrt{k}-1\leq k^{2}$

که به وضوح درست است حال:

$1\geq \frac{2k\sqrt{k}-k-1}{(k-1)(k+1)}\geq \frac{\sum a^{3}b}{\sum a^{2}bc}$

$\sum a^{2}bc\geq \sum a^{3}c$

حال میدانیم عبارت های ترکیبی کوچکترند.ب عنوان مثال اگر a,b,c را 1و2و3 قرار دهیم واضحا طرفی که باید کوچکتر باشد بزرگتر میشود درنتیجه k=1 است.
حال حالت k=1 نیز به راحتی اثبات میشود.

Dadgarnia · 1393/8/17

پاسخ : ماراتن نامساوي

MGH000 گفت

اینجا رو اشتباه کردین درستش اینه:

$\frac{2k}{k+1}\sum a\geq \sum \frac{(k-1)a^2}{b\sqrt{k}}+\frac{1}{\sqrt{k}}\sum a$

MGH000 · 1393/8/17

پاسخ : ماراتن نامساوي

Dadgarnia گفت

الآن درست شد دیگه؟

---- دو نوشته به هم متصل شده است ----

اینم سوال بعد:

$a,b,c > 0$

ثابت کنید:

$\frac{a^{2}+2bc}{b^{2}+c^{2}}+\frac{b^{2}+2ca}{c^{2}+a^{2}}+\frac{c^{2}+2ab}{a^{2}+b^{2}}> 3$

Dadgarnia · 1393/8/19

پاسخ : ماراتن نامساوي

sepidfekr گفت

مي تونيم فرض كنيم

$a=\tan \alpha,c=\tan \beta,b=\tan (\alpha+\beta)$

حالا اگه اين رابطه رو توي صورت سوال قرار بديم و يكم ساده كنيم بدست مياد:

$P=2\cos^2\alpha+3\cos^2\beta-2\cos^2(\alpha+\beta)=2\sin\beta\sin(2\alpha+\beta)+3-3\sin^2\beta$

$\Leftrightarrow P\leq 2\sin\beta-3\sin^2\beta+3=-3(\sin\beta-\frac{1}{3})^2+\frac{10}{3}\leq \frac{10}{3}$

aras2213 · 1393/8/21

پاسخ : ماراتن نامساوي

MGH000 گفت

$\sum \frac{a^2+2bc}{b^2+c^2}> 3\Leftrightarrow \sum \frac{(a^2+2bc)^2}{(b^2+c^2)(a^2+2bc)}> 3$

که با استفاده از نامساوی کوشی کافیه ثابت کنیم:

$\frac{(\sum (a^2+2bc))^2}{\sum (b^2+c^2)(a^2+2bc)}> 3\Leftrightarrow\sum a^4+4\sum a^3(b+c)+6\sum a^2b^2+12abc(a+b+c)> 6\sum a^3(b+c)+6\sum a^2b^2\Leftrightarrow \sum a^2(a-b)(a-c)+11abc(a+b+c)> 0$

که با توجه به فرض مساله و نامساوی شور درست است.

AHZolfaghari · 1393/8/21

پاسخ : ماراتن نامساوي

البته پاسخ mgh000 برای اون سوال نادرست است . به فکر کردن روی اون سوال ادامه بدید !

Dadgarnia · 1393/8/21

پاسخ : ماراتن نامساوي

AHZolfaghari گفت

ميشه بگيد كجاش اشكال داره؟ مي دونم كه آقاي شريفي گفتن ولي شايد منظور ايشون يه چيز ديگه بوده. روند صحيح اثبات آقاي MGH000 اينجوريه كه اول براي k=1 اثبات كنيم و بعدش مي تونيم اون نامساوي ها رو با فرض k>1 بنويسيم.

AHZolfaghari · 1393/8/22

پاسخ : ماراتن نامساوي

Dadgarnia گفت

همون تیکش که تو مخرج حسابی هندسی زده باعث وارد شدن اشکال به راه حله .

Dadgarnia · 1393/8/23

پاسخ : ماراتن نامساوي

AHZolfaghari گفت

شما منظورتون بعد از اين قسمته ديگه:

$\sum \frac{(k-1)a^3+ab^2}{ka^2+b^2}\leq \frac{k}{k+1}\sum a$

ما اگه بخوايم روي مخرج سمت چپ حسابي هندسي بزنيم بايد صورت كسرمون مثبت باشه و مخرج كسرمون هم همين طور پس با فرض

$k>1$

كسرمون شرايط مورد نظرو داره و مي تونيم حسابي هندسي بزنيم. در صورتي كه اگه ما فرض

$k>1$

رو نداشته باشيم نمي تونيم اين كارو انجام بديم و احتمالا منظور آقاي شريفي هم همين بوده.

m-saghaei · 1393/8/24

پاسخ : ماراتن نامساوي

تا دو روز دیگه رو اون سوال فکر کنید اگه حل نشد سوال بعد رو بزارین لطفا.(مجبوریم به آقا شریفی بگیم بیان حل کنن!)

Dadgarnia · 1393/8/30

پاسخ : ماراتن نامساوي

بعد از گذاشتن يه تاپيك توي AoPS لينك سوال پيدا شد:

AoPS Forum - So nice • Art of Problem Solving

m-saghaei · 1393/8/30

پاسخ : ماراتن نامساوي

سوال بعد(آسون):
اگر

$ab+bc+ca=1$

و

$a,b,c$

سه عدد حقیقی مثبت باشند ثابت کنید:

$\sum \frac{a\sqrt{a}}{bc}\geq \sqrt{3}\sum \sqrt{a}$

(هر کی حل کرد سوال بعد رو خودش بزاره!)

AHZolfaghari · 1393/8/30

پاسخ : ماراتن نامساوي

m-saghaei گفت

$\sqrt{a}\geq \sqrt{b}\geq \sqrt{c} , \frac{a}{bc}\geq \frac{b}{ac}\geq \frac{c}{ba}$

پس

$3 S \geq (\sum \sqrt{a})(\sum \frac{a}{bc})$

با توجه به کوشی

$(\sum \frac{a}{bc})(3abc)\geq (a+b+c)^2$

اما با حسابی هندسی روی ab+bc+ca می فهمیم که

$abc \leq \frac{1}{3\sqrt{3}}\rightarrow 3abc\leq \frac{1}{\sqrt{3}}$

$\sum \frac{a}{bc}\geq \frac{(\sum a)^2}{3abc}\geq \sqrt{3}(a+b+c)^2\geq 3\sqrt{3}$

پس

$3S \geq 3\sqrt{3}(\sum \sqrt{a})$

که مقصود سوال است

math1998 · 1393/8/30

پاسخ : ماراتن نامساوي

AHZolfaghari گفت

$abc \leq \frac{1}{3\sqrt{3}}\rightarrow 3abc\leq \frac{1}{\sqrt{3}}$

چرا ؟؟!!!

Dadgarnia · 1393/8/30

پاسخ : ماراتن نامساوي

math1998 گفت

$1=\sum ab\geq 3\sqrt[3]{a^2b^2c^2}\Rightarrow \frac{1}{3\sqrt{3}}\geq abc$

m-saghaei · 1393/9/1

پاسخ : ماراتن نامساوي

سوال بعد:
a,b,c سه تا عدد بزرگتر از صفر هستن و داریم

$\sum a\leq 1$

ثابت کنید:

$\sum \frac{a^2+a}{a+bc}\leq 3$

ماراتن نامساوي

آيا شما مايل به راه افتادن تاپيك ماراتن نامساوي مي باشي

بله

خير

New Member

New Member

New Member

New Member

New Member

New Member

New Member

New Member

New Member

Well-Known Member

New Member

Well-Known Member

New Member

New Member

New Member

New Member

Well-Known Member

New Member

New Member

New Member