ماراتن نامساوي

Dadgarnia · 1393/9/2

پاسخ : ماراتن نامساوي

m-saghaei گفت

ابتدا عبارت بالا رو به صورت خطي در مياريم:

$2abc\sum a^2+\sum a^2b^2+3a^2b^2c^2\geq abc\sum a+\sum a^2b^2(a+b)$

حالا قرار مي ديم

$\sum a=3u,\sum ab=3v^2,abc=w^3$

پس داريم:

$w^6+w^3(3u^2-2u-3v^2)+3v^4(1-3u)\geq 0$

پس با استفاده از

$uvw$

كافيه نامساوي رو به ازاي

$c=0$

ثابت كنيم كه در اين حالت درستي نامساوي بديهي است.

---- دو نوشته به هم متصل شده است ----

سوال بعد:

براي اعداد حقيقي و مثبت

$a,b,c$

نشان دهيد:

$\left ( \sum \frac{a}{b} \right )^2\geq \left ( \sum a \right )\left ( \sum \frac{1}{a} \right )$

m-saghaei · 1393/9/3

پاسخ : ماراتن نامساوي

Dadgarnia گفت

اول بازش میکنیم:

$\sum \frac{a^2}{b^2}+2\sum \frac{a}{c}\geq 3+\sum \frac{a}{b}+\sum \frac{b}{a}$

پس:

$\sum \frac{a^2}{b^2}+\sum \frac{a}{c}\geq 3+\sum \frac{a}{b}$

حالا چون روابط روبه رو رو داریم:

$\frac{a^2}{b^2}+1\geq 2\frac{a}{b},...$

نتیجه میشه که:

$\sum \frac{a^2}{b^2}+\sum \frac{a}{c}\geq 2\sum \frac{a}{b}-3+\sum \frac{a}{c}$

حالا میخوایم بدونیم آیا رابطه زیر برقراره؟

$2\sum \frac{a}{b}-3+\sum \frac{a}{c}\geq 3+\sum \frac{a}{b}$

که اینم اگه ساده اش کنیم میشه آیا داریم

$\sum \frac{a}{b}+\sum \frac{b}{a}\geq 6$

؟
که اینم بدیهیه.چون هر کدوم طبق حسابی هندسی بزرگتر مساوی 3 هستن.

Dadgarnia · 1393/9/3

پاسخ : ماراتن نامساوي

m-saghaei گفت

يه راه ديگش هم اينه كه كلا بازش كنيم:

$\sum a^2b^4+\sum a^3b^2c\geq \sum a^2b^3c+3a^2b^2c^2$

حالا با استفاده از مورهد داريم

$\left [ 4,2,0 \right ]\geq \left [ 3,2,1 \right ]\Rightarrow \sum b^4a^2\geq \sum b^3a^2c$

و با استفاده از حسابي - هندسي

$\sum a^3b^2c\geq 3a^2b^2c^2$

كه حكم رو نتيجه ميده. كلا از اين جور كارا خوشم مياد :4:.

m-saghaei · 1393/9/3

پاسخ : ماراتن نامساوي

سوال بعد:
اگر

$a,b,c$

سه عدد حقیقی نامنفی باشن و داشته باشیم

$\sum a^2=1$

ثابت کنید:

$\sum \sqrt{a+b} \geq 5abc+2$

TheOverlord · 1393/9/3

پاسخ : ماراتن نامساوي

Dadgarnia گفت

تو استفاده از مورهد دقت كنيد چرا كه نامساويتون متقارن نيست و مورهد متقارنه.

Dadgarnia · 1393/9/3

پاسخ : ماراتن نامساوي

TheOverlord گفت

نگاه كنيد مگه تعريف مورهد اين نيست:

$\left [ \alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n \right ]\geq \left [ \beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_n \right ]\Rightarrow \sum x_1^{\alpha_1}x_2^{\alpha_2}\cdots x_n^{\alpha_n}\geq \sum x_1^{\beta_1}x_2^{\beta_2}\cdots x_n^{\beta_n}$

واضحه كه ميشه

$\alpha_i,\beta_i$

ها رو جوري تعيين كرد كه نامساوي متقارن نباشه.

TheOverlord · 1393/9/3

پاسخ : ماراتن نامساوي

دقت کنید که سیگمای مذکور، سیگمای جایگشتی است، نه دوری یعنی روی همه جایگشت ها محاسبه میگردد.

sepidfekr · 1393/9/15

پاسخ : ماراتن نامساوي

سوال بعد:

Dadgarnia · 1393/9/16

پاسخ : ماراتن نامساوي

sepidfekr گفت

يه راهي پيدا كردم خودم خيلي حال كردم چون خيلي وقت بود با نامساوي هاي كلاسيك هـيچي حل نكرده بودم:
با استفاده از نامساوي حسابي - توافقي ( اين نامساوي رو ميگم

$\sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}}\geq \frac{a+b}{2}$

اسمش همينه؟) داريم:

$\sqrt{2a+2b}=\sqrt{\frac{2a^2+2b^2}{a+b}+\frac{4ab}{a+b}}\geq \sqrt{\frac{a^2+b^2}{a+b}}+\sqrt{\frac{2}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}}$

پس براي اثبات حكم كافيه ثابت كنيم:

$\sum_{cyc}\sqrt{\frac{2}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}}\geq 3$

با استفاده از شرط سوال ميدونيم

$\sum \frac{1}{a}\leq 3$

و همچنين با استفاده از حسابي - توافقي (همون نامساوي بالا) داريم

$\sum_{cyc}\sqrt{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}\leq \sqrt{\sum_{cyc}\frac{6}{a}}$

و با استفاده از كوشي بدست مياد:

$\sum_{cyc}\sqrt{\frac{2}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}}\geq \frac{9\sqrt{2}}{\sum_{cyc}\sqrt{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}}\geq \frac{3\sqrt{3}}{\sqrt{\sum\frac{1}{a}}}\geq 3$

پس حكم ثابت ميشه.

Dadgarnia · 1393/9/17

پاسخ : ماراتن نامساوي

m-saghaei گفت

سوال خيلي سختي بود:18:!
فرض مي كنيم

$a\geq b\geq c$

با استفاده از حسابي - هندسي داريم:

$\sqrt{b+c}\geq \sqrt{2\sqrt{bc}}=\sqrt[4]{4bc}$

از طرف ديگه با حسابي - هندسي داريم:

$a^8b^6c^6=4^43^6\left ( \frac{a^2}{4} \right )^4\left ( \frac{b^2}{3} \right )^3\left ( \frac{c^2}{3} \right )^3\leq 4^43^6\left ( \frac{4\cdot \frac{a^2}{4}+3\cdot \frac{b^2}{3}+3\cdot\frac{c^2}{3}}{10} \right )^{10}=$

$=\frac{4^43^6}{10^{10}}\Leftrightarrow a^4b^3c^3\leq \frac{4^23^3}{10^5}< \frac{4}{5^4}\Leftrightarrow \sqrt[4]{4bc}\geq 5abc$

پس بايد ثابت كنيم:

$\sqrt{a+b}+\sqrt{c+a}\geq 2$

بازم با حسابي - هندسي داريم:

$\sqrt{a+b}+\sqrt{c+a}\geq 2\sqrt[4]{a^2+\sum_{cyc}ab}\geq 2\sqrt[4]{\sum_{cyc}a^2}=2$

پس حكم ثابت ميشه.

math1998 · 1393/9/18

پاسخ : ماراتن نامساوي

Dadgarnia گفت

نامساوی اکید شده!!!!

---- دو نوشته به هم متصل شده است ----

Dadgarnia گفت

نامساوی اکید شده!!!!

Dadgarnia · 1393/9/18

پاسخ : ماراتن نامساوي

math1998 گفت

به نظر شما اشكالي توي راه من وجود داره؟ اگه راه من اشكال نداشته باشه خب نامساوي اكيد بشه مگه مشكلي ايجاد مي كنه؟ ولي نامساوي هاي قويتري رو هم ميشه با همين شروط سوال ثابت كرد مثل اين:

$\sum_{cyc}\sqrt{a+b}\geq \frac{5}{3}\sqrt[4]{120}abc+2$

كه شايد اينا اكيد نباشن و حالت تساوي وجود داشته باشه.

Dadgarnia · 1393/9/18

پاسخ : ماراتن نامساوي

سوال بعد:
اعداد مثبت

$a,b,c$

در رابطه ی

$a^2+b^2+c^2=2abc+1$

صدق می کنند. حداکثر عبارت زیر را بیابید:

$(a-2bc)(b-2ca)(c-2ab)$

REZA 73 · 1393/9/21

پاسخ : ماراتن نامساوي

Dadgarnia گفت

کافیه پرانتز ها رو در هم ضرب کنیم
مقدار ماکزیمم 1/8 است پس باید ثابت کنیم:

$\frac{1}{8}\geq 5abc-16(a^2b^2+a^2c^2+b^2c^2)$

$a\geq b\geq \frac{2cb}{b+c}\geq c\Rightarrow 12a^2b^2+12a^2c^2\geq 24abc$

$4a^2b^2+4a^2c^2+16b^2c^2+1\geq 16abc$

$1\geq 40abc-16(a^2b^2+a^2c^2+b^2c^2)$

در نتیجه سوال اثبات شده است.

---- دو نوشته به هم متصل شده است ----

Dadgarnia · 1393/9/21

پاسخ : ماراتن نامساوي

REZA 73 گفت

میشه در مورد نامساوی های خط دوم و سوم بیشتر توضیح بدین؟ در ضمن شما حالت تساوی رو هم معین نکردین.

REZA 73 · 1393/9/21

پاسخ : ماراتن نامساوي

Dadgarnia گفت

اولا که فرض کردیم a بزرگتر مساویه b. و b بزرگتر مساویه c پس خط دوم ثابت میشه خط سوم هم که یه. یه حسابی هندسی ساده است حالت تساوی هم برای 1و 0.5 و 0.5 به دست می آید،اگه دقت کنید حالت تساوی ها همه بر روی نامساوی ها رعایت شده است.

Dadgarnia · 1393/9/21

پاسخ : ماراتن نامساوي

REZA 73 گفت

نامساوی خط دوم در صورتی درسته که a بزرگتر از یک باشه و نامساوی خط سوم ضریب abc میشه 4 نه 16 همچنین شما از شرط سوال چه استفاده ای کردین؟

REZA 73 · 1393/9/21

پاسخ : ماراتن نامساوي

Dadgarnia گفت

از شرط مساله که برای به دست آوردن

$5abc-16(a^2b^2+a^2c^2+b^2c^2)$

استفاده شده

$4a^2b^2+4a^2c^2+16b^2c^2+1\geq 4\sqrt[4]{256a^4b^4c^4}=16abc$

فقط کافیه با استفاده دوباره از شرط مساله ثابت بشه که

$a\geq \frac{2bc}{b^2+c^2}$

که در پست اول اشتباه نوشتمb+c

Dadgarnia · 1393/9/21

پاسخ : ماراتن نامساوي

REZA 73 گفت

بله حق با شماست نمی دونم چرا امشب اینقدر خنگ شدم :4: ولی این نامساوی آخر رو توضیح ندادین من فکر می کنم شما فرض کردین b بزرگتر مساوی یکه.

REZA 73 · 1393/9/21

پاسخ : ماراتن نامساوي

Dadgarnia گفت

من فرض خاصی نکردم ولی چیزی که مشهوده اگه a بزرگتر از یک باشه اون نامساوی درسته، البته میشه با روش لاگرانژ درستی این نابرابری جزئی رو به راحتی چک کرد، من با لاگرانژ بررسی کردم، ولی به احتمال زیاد یه اثبات خیلی ساده تر داره، متاسفانه به دلیل درس های زیاد دانشگاه فرصت نمیشه بیشتر از این رو مسایل فک کنم .

ماراتن نامساوي

آيا شما مايل به راه افتادن تاپيك ماراتن نامساوي مي باشي

بله

خير

New Member

New Member

New Member

New Member

New Member

New Member

New Member

New Member

New Member

New Member

New Member

New Member

New Member

Active Member

New Member

Active Member

New Member

Active Member

New Member

Active Member