ماراتن نظریه ی اعداد (سطح پیشرفته)

Dadgarnia · 1393/9/20

پاسخ : ماراتن نظریه ی اعداد (سطح پیشرفته)

راهنمايي ٢:

$n^{n+1}+n-1=(n^2-n+1)(n^{n-1}+n^{n-2}-n^{n-4}-n^{n-5}+\cdots +n^3+n^2-1)$

REZA 73 · 1393/9/20

پاسخ : ماراتن نظریه ی اعداد (سطح پیشرفته)

اتحاد خیلی جالبیه!!!از این که پرانتز سمت چپ به هنگ n به توان 3 برابر منفی یکه باید نتیجه بشه که دو تا پرانتز نسبت به هم اولند؟؟؟؟؟

Dadgarnia · 1393/9/21

پاسخ : ماراتن نظریه ی اعداد (سطح پیشرفته)

REZA 73 گفت

نمي دونم شايد بشه ولي خيلي راحت تر هم ميشه با روابط عاد كردن نتيجه بگيرين كه دو تا پرانتز نسبت به هم اولند.

REZA 73 · 1393/9/21

پاسخ : ماراتن نظریه ی اعداد (سطح پیشرفته)

Dadgarnia گفت

آره با روش های مختلفی میشه ثابت کرد ولی نکته مهم حل سوال همون عبارت تجزیه بود.

Dadgarnia · 1393/9/21

پاسخ : ماراتن نظریه ی اعداد (سطح پیشرفته)

سوال بعد:
تمام اعداد طبیعی

$n$

را بیابید به طوریکه

$2^{n+2}(2^n-1)-8\cdot 3^n+1$

مربع کامل باشد.

aras2213 · 1393/9/22

پاسخ : ماراتن نظریه ی اعداد (سطح پیشرفته)

Dadgarnia گفت

AoPS Forum - 2^{n+2}(2^n-1)-8.3^n+1 is a perfect square • Art of Problem Solving

Dadgarnia · 1393/9/28

پاسخ : ماراتن نظریه ی اعداد (سطح پیشرفته)

سوال بعد:

$n$

یک عدد طبیعی و

$1=d_1<d_2<\cdots<d_k=n$

مقسوم علیه های

$n$

هستند. تمام

$n$

هایی را بیابید که:

$2n=d_5^2+d_6^2-1$

REZA 73 · 1393/9/28

پاسخ : ماراتن نظریه ی اعداد (سطح پیشرفته)

Dadgarnia گفت

$d_{5}=x ......d_{6}=y$

$2x^2< 2n<2y^2\Rightarrow n=xy$

از رابطه بالا میشه نتیجه گرفت که اولا n مربع کامل نیس ثانیا دقیقا 10 تا مقسوم علیه داره.

$\Rightarrow 2xy=x^2+y^2-1\Rightarrow y=x+1$

همچنین با توجه به اول بودن x و y نسبت به هم و از این که n ده تا مقسوم علیه داره میشه فهمید که n به صورت

$p^4 q$

هستش که p و q هر دو اولند.

$x(x+1)=p^4 q$

حالا با یه بررسی ساده میشه فهمید که

$p=2 ,q=17$

یعنی n=16*17.

Dadgarnia · 1393/9/28

پاسخ : ماراتن نظریه ی اعداد (سطح پیشرفته)

REZA 73 گفت

لطفا سوال بعد رو هم بذارين.

REZA 73 · 1393/9/28

پاسخ : ماراتن نظریه ی اعداد (سطح پیشرفته)

کوچکترین عدد طبیعی n بزرگتر از 4 را بیابید به طوری که بتوان از بین هر n عدد صحیح متمایز 4 عدد مانند a,b,c,d انتخاب کرد به طوری که 20 عاد کنه

$a+b-c-d$

.

Dadgarnia · 1393/9/29

پاسخ : ماراتن نظریه ی اعداد (سطح پیشرفته)

REZA 73 گفت

مي دونيم كه

$a+b$

به پيمانه ي 20 مي تونه بيست مقدار متفاوت داشته باشه. پس اگه

$n\geq 12$

باشه براي

$a+b$

حداقل

$\binom{12}{2}=66$

حالت وجود خواهد داشت. حالا بنابر اصل لانه كبوتري حداقل

$\left \lceil \frac{66}{20} \right \rceil=4$

تا از اين مقادير با هم برابرند كه با بررسي حالات مختلف مي تونيم ببينيم كه حكم برقراره. براي

$n=11$

هم مثال نقض زير وجود داره:

$1,2,3,4,6,8,11,15,16,21,41$

پس حداقل

$n=12$

هست.

---- دو نوشته به هم متصل شده است ----

سوال بعد (يكم سخته!):
دنباله ي

$\left \{ a_n \right \}_{n=0}^\infty$

را به اين شكل تعريف مي كنيم:

$\left\{\begin{matrix} a_0=a_1=a_2=a_3=1\\ a_{n}a_{n-4}=a_{n-1}a_{n-3}+a_{n-2}^2 \,\,\, \forall n\geq 4 \end{matrix}\right.$

ثابت كنيد همه ي اعداد اين دنباله طبيعي هستند.

REZA 73 · 1393/9/29

پاسخ : ماراتن نظریه ی اعداد (سطح پیشرفته)

Dadgarnia گفت

مي دونيم كه

$a+b$

به پيمانه ي 20 مي تونه بيست مقدار متفاوت داشته باشه. پس اگه

$n\geq 12$

باشه براي

$a+b$

حداقل

$\binom{12}{2}=66$

حالت وجود خواهد داشت. حالا بنابر اصل لانه كبوتري حداقل

$\left \lceil \frac{66}{20} \right \rceil=4$

تا از اين مقادير با هم برابرند كه با بررسي حالات مختلف مي تونيم ببينيم كه حكم برقراره. براي

$n=11$

هم مثال نقض زير وجود داره:

$1,2,3,4,6,8,11,15,16,21,41$

پس حداقل

$n=12$

هست.

---- دو نوشته به هم متصل شده است ----

سوال بعد (يكم سخته!):
دنباله ي

$\left \{ a_n \right \}_{n=0}^\infty$

را به اين شكل تعريف مي كنيم:

$\left\{\begin{matrix} a_0=a_1=a_2=a_3=1\\ a_{n}a_{n-4}=a_{n-1}a_{n-3}+a_{n-2}^2 \,\,\, \forall n\geq 4 \end{matrix}\right.$

ثابت كنيد همه ي اعداد اين دنباله طبيعي هستند.

خب فکرکنم اشتباه کردید چون 11و15و4و2 در شرط مساله صدق میکنند یعنی جوابتون اشتباهه

m-saghaei · 1393/10/5

پاسخ : ماراتن نظریه ی اعداد (سطح پیشرفته)

REZA 73 گفت

جواب باید بشه

$n=9$

چون ما میخوایم اینو بگیم:

$20|(a+b)-(c+d)$

اگه

$n\geq 7$

باشه اگه بخوایم دوتاشو انتخاب کنیم میشه دو از هفت که از 20 بیشتره پس طبق لانه کبوتری دوتاشون باقیماندشون به 20 باید یکی بشه.پس منهاشون به 20 بخشپذیره.
ولی چندتا عدد امتحان کردم برای مثلا

$n=8$

یه مثال نقض پیدا کردم.که اگه 8 تا عدد اینا باشن:0و0و0و1و2و4و7و12 که تو مسئله صدق نمیکنن.
ولی واسه

$n=9$

مثال نقض پیدا نکردم.
الان اینجوری درسته یا باید واسه

$n=9$

رو یه جور دیگه اثبات کنیم؟

REZA 73 · 1393/10/5

پاسخ : ماراتن نظریه ی اعداد (سطح پیشرفته)

m-saghaei گفت

جواب برابر 9 درسته،ولی اثبات کامل نیست از کجا میدونین اون زوج هایی که انتخاب کردید عضو مشترک ندارند، ازین استفاده کنید که حداکثر سه تا عدد میتونن به هنگ 20 با هم برابر باشند، چون در غیر این صورت که بدیهیه.

REZA 73 · 1393/11/1

پاسخ : ماراتن نظریه ی اعداد (سطح پیشرفته)

سوال قبلی تقریبا حل شده . دوستان تقریبا جواب و اثبات و مثال نقضشو گفتن. واسه این که دو باره تاپیک راه بیفته:
سوال بعد:
فرض کنید

$s_{n}$

مجموع n عدد اول اول (ابتدایی)باشه. مثلا

$s_{3}=2+3+5$

. ثابت کنید هیچ k ای وجود نداره که

$s_{k}, s_{k+1}$

هر دو مربع کامل باشند.

aras2213 · 1393/11/2

پاسخ : ماراتن نظریه ی اعداد (سطح پیشرفته)

REZA 73 گفت

فرض کنید

$s_k=x^2,s_{k+1}=y^2$

.

در این صورت:

$x^2+p_{k+1}=y^2\rightarrow (y-x)(y+x)=p_{k+1}\rightarrow y=\frac{p_{k+1}+1}{2},x=\frac{p_{k+1}-1}{2}$

.

پس:

$p_{1}+p_{2}+...+p_{k}=(\frac{p_{k+1}-1}{2})^2$

.با استقرا روی k نشون میدیم برای هر k که از 3 بزرگتر است،

$p_{1}+p_{2}+...+p_{k}< (\frac{p_{k+1}-1}{2})^2$

.

پایه استقرا که درسته،برای گام استقرا هم داریم:

$p_{1}+p_{2}+...+p_{k+1}< (\frac{p_{k+1}-1}{2})^2+p_{k+1}=(\frac{p_{k+1}+1}{2})^2\leq (\frac{p_{k+2}-1}{2})^2$

.

---- دو نوشته به هم متصل شده است ----

اگه درسته،اینم سوال بعد:ثابت کنید بی نهایت n وجود دارد که

$n\mid2^{2^{n}+1}+1,n\nmid 2^{n}+1$

.

REZA 73 · 1393/11/3

پاسخ : ماراتن نظریه ی اعداد (سطح پیشرفته)

aras2213 گفت

اگه داشته باشیم :

$x|2^{2^x+1}+1$

یعنی

$x$

جواب باشه اونوقت

$2^x+1$

هم جوابه. و همین طور برای شرط دیگه مساله.

پس کافیه یه عدد پیدا کنیم که تو هر دو رابطه مساله بالا صدق کنه. بعدش بینهایت تا جواب ساخته میشن.
حالا اون عدده چیه؟؟؟:227:

aras2213 · 1393/11/3

پاسخ : ماراتن نظریه ی اعداد (سطح پیشرفته)

REZA 73 گفت

برای 57 درسته.

REZA 73 · 1393/11/3

پاسخ : ماراتن نظریه ی اعداد (سطح پیشرفته)

aras2213 گفت

مرسی!!
برای پیدا کردنش هم میشه اعداد 3p رو بررسی کرد.چون برای اعداد اول همچین عددی وجود نداره! 57=3*19

---- دو نوشته به هم متصل شده است ----

سوال بعد:
ثابت کنید هر عدد صحیح را میتوان به بینهایت طریق به صورت

$\pm 1^2\pm 2^2\pm ...\pm m^2$

نوشت که m طبیعی است و علامت های + و - میتوانند به طور مناسبی انخاب شوند.

REZA 73 · 1393/11/14

پاسخ : ماراتن نظریه ی اعداد (سطح پیشرفته)

راهنمایی سوال قبل:
با استقرا نشان دهید اگه به ازای

$k$

چنین چینشی موجود باشه برای

$k+4$

هم موجوده چون:

$(m+1)^2-(m+2)^2-(m+3)^2+(m+4)^2=4$

برای اثبات بینهایت طریق هم نشان دهید که گزینشی از علامت ها وجود داره که :

$(m+1)^2\pm (m+2)^2\pm (m+3)^2\pm (m+4)^2\pm (m+5)^2\pm (m+6)^2\pm (m+7)^2\pm (m+8)^2=0$

ماراتن نظریه ی اعداد (سطح پیشرفته)

New Member

Active Member

New Member

Active Member

New Member

New Member

New Member

Active Member

New Member

Active Member

New Member

Active Member

New Member

Active Member

Active Member

New Member

Active Member

New Member

Active Member

Active Member