تابع یک به یک و پوشا

amir.ekhlasi · 1390/4/8

فرض کنید

$D$

زیرمجموعه ای از اعداد حقیقی است به طوری که شامل اعداد صحیح باشد و نسبت به جمع و ضرب بسته باشد. و همچنین به ازای هر

$u \in D$

چند جمله ایی با ضرایب صحیح وجود داشته باشد که

$u$

ریشه آن است.
همچنین فرض کنید

$f:D \to D$

تابعی باشد که به ازای هر

$x,y \in D$

داشته باشیم

$f(x+y)=f(x)+f(y)$

و

$f(xy)=f(x)f(y)$

. ثابت کنید تابع

$f$

یک به یک است اگر و فقط اگر پوشا باشد.

amir.ekhlasi · 1390/4/11

پاسخ : تابع یک به یک و پوشا

این سؤال هم چون قشنگ است جوابش را میذارم.
در اول میتوانیم بدون از دست رفتن کلیت فرض کنیم

$f \not = 0$

. در نتیجه به ازای هر عدد صحیح

$f(m)=m$

. از آن بهتر به ازای هر چند جمله ای

$p(x)$

با ضرایب صحیح و

$u \in D$

،

$f(p(u))=p(f(u))$

.
فرض کنید

$p(x)$

چند جمله ایی باشد که در

$\mathbb{Z}[x]$

تجزیه ناپذیر باشد و در

$D$

ریشه داشته باشد. و فرض کنید

$D_p$

تمام ریشه های

$p(x)$

در

$D$

باشد. اولا به راحتی میتوان دید که

$D_p\cap D_q= \varnothing$

وقتی

$p(x)$

و

$q(x)$

متفاوت باشند. (و با یک ضریب گویا به هم تبدیل نشوند.) همچنین

$D_p$

متناهی است و ثالثا طبق فرض مسئله هر

$u$

در یک

$D_p$

ای جا میگرد. پس با اینکار ما

$D$

را به مجموعه های متناهی افراز کرده ایم. از آن مهمتر میتوان دید که

$f(D_p) \subseteq D_p$

. پس در نتیجه

$f$

روی هر

$D_p$

به صورت یک تابع درونی عمل میکند. از طرفی دیگر

$f$

در

$D$

یک به یک است اگر و فقط اگر در هر

$D_p$

یک به یک باشد. همچنین در

$D$

پوشا است اگر و فقط اگر در هر

$D_p$

پوشا باشد. اما چون هر

$D_p$

مجموعه ای متناهی است،

$f$

در این مجموعه یک به یک است اگر و فقط اگر پوشا باشد. پس

$f$

در

$D$

یک به یک است، اگر و فقط اگر پوشا باشد.
قشنگ بود. نه ؟:95::95:

تابع یک به یک و پوشا

amir.ekhlasi

New Member

amir.ekhlasi

New Member