<<:: ماراتن بخش پذیری متوسط ::>>

mousavi · 1389/6/11

[center:a2b206bc1a]

$\300dpi \huge 21$

[/center:a2b206bc1a]

ثابت کنید عدد طبیعی A مربع کامل است اگر و فقط اگر برای هر n طبیعی حداقل یکی از

$(A+1)^2-A,(A+2)^2-A,...,(A+n)^2-A$

بر n بخشپذیر باشد.

mahdisaj · 1389/6/13

$\left ( a+1 \right )^{2}\equiv a(mod n)\Rightarrow a\equiv k^{2}(mod n)$

حال n را آنقدر بزرگ می کنیم که n>a
پس n=a+q
1) فرض می کنیم که k^2<a+q

$k^{2}\equiv a (mod n)\Rightarrow k^{2}=a$

2) بدیهی است که اگر n=k آنگاه a برابر با صفر می شود
3)فرض می کنیم که k>a+q پس k=a+q+t1

$a\equiv t_{1}^{2}(mod n)$

اگر t1 کوچکتر یا مساوی از n باشد در این صورت مسیله حل شده است
اگر t1 بزرگتر از n باشد در اینصورت به طریق بالا خواهیم داشت :
t1=n+t2

$\Rightarrow a\equiv t_{2}^{2} (mod n)$

ti را نیز به همین صورت تعریف می کنیم پس داریم :

$a\equiv t_{i}^{2} (mod n)$

این کار را آنقدر ادامه می دهیم تا در این صورت یک tl پیدا شود که از n کوچکتر باشد

بدیهی است که برای n های کوچکتر از a حتما حداقل یکی از عبارات بر n بخش پذیر می شود . پس مسیله حل شد

M_Sharifi · 1389/6/13

mahdisaj گفت

$\left ( a+1 \right )^{2}\equiv a(mod n)\Rightarrow a\equiv k^{2}(mod n)$

حال n را آنقدر بزرگ می کنیم که n>a
پس n=a+q
1) فرض می کنیم که k^2<a+q

$k^{2}\equiv a (mod n)\Rightarrow k^{2}=a$

2) بدیهی است که اگر n=k آنگاه a برابر با صفر می شود
3)فرض می کنیم که k>a+q پس k=a+q+t1

$a\equiv t_{1}^{2}(mod n)$

اگر t1 کوچکتر یا مساوی از n باشد در این صورت مسیله حل شده است
اگر t1 بزرگتر از n باشد در اینصورت به طریق بالا خواهیم داشت :
t1=n+t2

$\Rightarrow a\equiv t_{2}^{2} (mod n)$

ti را نیز به همین صورت تعریف می کنیم پس داریم :

$a\equiv t_{i}^{2} (mod n)$

این کار را آنقدر ادامه می دهیم تا در این صورت یک tl پیدا شود که از n کوچکتر باشد

بدیهی است که برای n های کوچکتر از a حتما حداقل یکی از عبارات بر n بخش پذیر می شود . پس مسیله حل شد

من که چیز خاصی از راه حل شما نفهمیدم.

diba1993 · 1389/6/13

mousavi گفت

مثل اينكه كسي نميخواد اين سوالو حل كنه.
[center:df69177589]

$\300dpi \huge 22$

[/center:df69177589]

با اجازه ي "mousavi" يه سوال ديگه ميذارم ولي هر كي خواست ميتونه او سوال و حل كنه.

تمام اعداد به فرم

$2^n-1$

را پيدا كنيد كه در دنباله ي زير ظاهر ميشود:
[center:df69177589]

$5,12,19,26,...$

[/center:df69177589]

rezashiri · 1389/6/13

diba1993 گفت

سلام.

جمله عمومی دنیاله به صورت

$a_{n}=5+7(n-1)$

می باشد.

پس داریم:

$2^{x}-1=7n-2\Rightarrow 2^{x}=7n-1$

ولی چون

$2^{x}\equiv 1,2,4(mod(7))$

پس هیچ عددی به فرم

$2^{n}-1$

در این دنباله وجود ندارد.

درسته؟!؟!

mousavi · 1389/6/13

کسی حل نکرد دیگه خودم حل میکنم:یه طرفش بدیهیه
طرف دوم:برهان خلف:

$\parallel A\parallel p=2k-1$

$n=p^{2k}$

$p^{2k}\mid (A+m)^2-A\Rightarrow p^{2k}\mid A^2+m^2+2Am-A$

$p^{2k}\mid m^2+2Am-A$

$\times p\Rightarrow p^{2k}\mid pm^2$

$\parallel m\parallel p\geq k\Rightarrow p^{2k}\mid A$

rezashiri · 1389/6/13

[center:d0fc881060]

$\300dpi \huge 23$

تمام اعداد طبیعی n را بیابید که داشته باشیم:

$\150dpi n!+3=3^{n-1}$

[/center:d0fc881060]

diba1993 · 1389/6/13

rezashiri گفت

آره

quote="rezashiri"]"]

[center:ad63311b2a]

$\300dpi \huge 23$

[/center:ad63311b2a]

[center:ad63311b2a]

تمام اعداد طبیعی n را بیابید که داشته باشیم:

$\150dpi n!+3=3^{n-1}$

[/center:ad63311b2a]

[/quote]

$6\leq n\Rightarrow 9\mid n!\Rightarrow9\mid 3^{n-1}-3 \Rightarrow 9\mid3$

diba1993 · 1389/6/13

[center:bf51233a15]

$\300dpi \huge 24$

[/center:bf51233a15]

اگر

$\frac{a}{b},(a,b)=1$

ريشه گويا چند جمله اي

$P(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_1x+a_0$

با ضرايب صحيح باشد ثابت كنبد:

[center:bf51233a15]

$b\mid a_n,a\mid a_0$

[/center:bf51233a15]

Aref · 1389/6/14

$P(\frac{a}{b})=a_n(\frac{a}{b})^n+...+a_0=0\Rightarrow a_na^n+...+a_1ab^{n-1}+a_0b^n=0\Rightarrow a \mid a_0 b^n ,b\mid a_na^n \Rightarrow a\mid a_0,b\mid a_n$

diba1993 · 1389/6/14

Aref گفت

diba1993 · 1389/6/14

[center:94bd83b7d3]

$\300dpi \huge 25$

[/center:94bd83b7d3]فرض كنيد بين عدد اول

$p$

و اعداد صحيح

$x,y$

روابط زير برقرار باشد،

$\frac{x^3+y^2}{p}$

چند مقدار مختلف ميپذيرد؟
[center:94bd83b7d3]

$\left\{\begin{matrix} p+1=2x^2\\ p^2+1=2y^2 \end{matrix}\right.$

[/center:94bd83b7d3]

mahanmath · 1389/6/15

$p=7$

rezashiri · 1389/6/16

[center:1a30b88598]

$\300dpi \huge 26$

[/center:1a30b88598]
تمام a,b های طبیعی را بیابید که داشته باشیم:

[center:1a30b88598]

$\120dpi a^{5}-5^{b}=1$

[/center:1a30b88598]

HatefS · 1389/6/16

$5^b=(a-1)(a^4+a^3+a^2+a+1)$

برای

$a\ge 2$

داریم

$a-1\mid a^4+a^3+a^2+a+1$

چون به صورت توان هایی از پنج اند و

$a$

طبیعی است.

با استفاده از خواص بخش پذیری به این می رسیم که

$a-1\mid 5$

وکافی است فقط جواب های

$a$

و

$b$

را چک کنیم .

diba1993 · 1389/6/16

[center:54199578c3]

$\300dpi \huge 27$

[/center:54199578c3]
هر كاري كردم نتونستم مستقيما جواب و بذارم

mousavi · 1389/6/17

28.همه ی زوجهای

$(m,n)$

از اعداد صحیح را بیابید که

$(m+n)^4=m^2n^2+m^2+n^2+6mn$

rezashiri · 1389/8/8

میشه یه نفر اینو حل کنه!؟

mahanmath · 1389/8/8

rezashiri گفت

$mn=y , (m+n)^2 =x \Rightarrow (2x-1)^2 +15 = (2y+4)^2$

[center:da0de8f211]29[/center:da0de8f211][center:da0de8f211] [/center:da0de8f211][center:da0de8f211] [/center:da0de8f211][center:da0de8f211] [/center:da0de8f211][center:da0de8f211][hr:da0de8f211][/center:da0de8f211][center:da0de8f211] [/center:da0de8f211][center:da0de8f211] [/center:da0de8f211][center:da0de8f211] [/center:da0de8f211][center:da0de8f211]One million of consecutive positive integers is divided at pairs; then we calculate sum in each pair. All these sum were different. Prove that it's possible to choose 1000 numbers among these sums such that their GCD>1. [/center:da0de8f211]

mojtabaaa1373 · 1389/8/10

اگه اولی a+1 باشه و 1000000امین عدد a+1000000باشه داریم2 /10[SUP]6[/SUP] تا عدد ازبین اونا رو انتخاب کردیم اگه هزار تا از اونا داشته باشیم که زوج هستند حله در غیر این صورت اگه هزار تای اول وهزار تای آخر رو بگیریم میبینیم میبینیم حداقل هزار تا باید زوج باشند
سوال 30:
ثابت کنید برای هر x,y,k,z,t
x[SUP]z[/SUP]+y[SUP]t[/SUP]
بر
4kxyz-1
بخشپذیر نیست؟

<<:: ماراتن بخش پذیری متوسط ::>>

با ادامه کار این ماراتن موافقید؟

بله

نه

New Member

New Member

راهبر ریاضی

New Member

Well-Known Member

New Member

Well-Known Member

New Member

New Member

New Member

New Member

New Member

New Member

Well-Known Member

New Member

New Member

New Member

Well-Known Member

New Member

Active Member