ماراتن نظریه ی اعداد (سطح پیشرفته)

Sharifi_M · 1394/8/12

پاسخ : ماراتن نظریه ی اعداد (سطح پیشرفته)

$\sum \frac{1}{a}=\frac{1}{abcd}$

$\Rightarrow \sum abc=1$

$\sum abc=ab(c+d)+cd(a+b)=1$

حالا چون صرفا ما میخوایم یه جواب پیدا کنیم میتونیم فرض کنیم که

$a+b=1$

نتیجه:

$a(1-a)(c+d)+cd=1$

$\Rightarrow cd+(c+d)(a-a^2)+(a-a^2)^2=1+(a-a^2)^2$

$\Rightarrow(c+(a-a^2))(d+(a-a^2))=1+(a-a^2)^2$

حالا اگر بزاریم

$c=a^2-a+1$

نتیجه میشه

$d=(a-a^2)^2-(a-a^2)+1$

و یه مجموعه جواب زیر رو داریم:

$(a,b,c,d)=(a,-a+1,a^2-a+1,(a-a^2)^2-(a-a^2)+1)$

بقیش دیگه مثال زدنو ایناس که زیاد سخت نیست :4:

---- دو نوشته به هم متصل شده است ----

سوال بعد:
عدد طبیعی

$n$

را شیک(!) مینامیم اگر حداقل یکی از مضاربش با

$2008$

شروع شود برای مثال

$7$

شیک است زیرا

$200858=28694\times 7$

ثابت کنید تمام اعداد طبیعی شیکند.

Dadgarnia · 1394/8/12

پاسخ : ماراتن نظریه ی اعداد (سطح پیشرفته)

يه عدد دلخواه مثل

$n$

رو در نظر مي گيريم. بايد ثابت كنيم

$A,m$

اي وجود دارند به طوريكه

$n|2008\times 10^m+A,A<10^m$

. حالا اگه

$m$

رو طوري بگيريم كه

$10^m-1$

بزرگتر يا مساوي

$n$

باشه، وقتي

$A$

از يك تا

$10^m-1$

تغيير مي كنه همه ي باقي مانده هاي ممكن به پيمانه

$n$

به وجود مياد پس جايي اين باقي مانده صفر ميشه كه حكم رو نتيجه ميده.

---- دو نوشته به هم متصل شده است ----

سوال بعد:
همه ي اعداد طبيعي

$x,y,z$

را بيابيد به طوريكه

$1+4^x+4^y=z^2$

.

nsg2000gh · 1394/8/12

پاسخ : ماراتن نظریه ی اعداد (سطح پیشرفته)

از این دو تا بیشترند جواب ها ؟!!!:4:
(1و1و3) و (3و2و9)
اگه به جز این دو هستند چه اعدادی هستند ؟

Dadgarnia · 1394/8/12

پاسخ : ماراتن نظریه ی اعداد (سطح پیشرفته)

nsg2000gh گفت

آره سوال بي نهايت جواب داره ولي حتي پيدا كردن تمام جواب ها هم كافي نيست بايد ثابت بشه كه غير از اونا هم جوابي وجود نداره.
سوال سختيه. :4: چون فكر مي كنم كه تاپيك رو مي خوابونه يه راهنمايي براش ميذارم (سفيد نوشتم هر كي خواست ببينه): از نامساوي ها استفاده كنيد!

REZA 73 · 1394/8/13

پاسخ : ماراتن نظریه ی اعداد (سطح پیشرفته)

Dadgarnia گفت

بنا به تقارن فرض میکنیم

$x>y$

. حالا ثابت میکنیم

$2y>x$

چون در غیر این صورت:

$(2^x+1)^2>1+4^x+4^y>(2^x)^2$

حالا فرض کنید:

$z=2k-1$

$1+4^x+4^y=4k^2-4k+1\Rightarrow 4^{x-1}+4^{y-1}=k^2-k=k(k-1)$

اگر

$k=4^{y-1}q$

باشه داریم:

$4^y+1>4^{x-y}+1=q(4^{y-1}q-1)\Rightarrow q=1$

که در این حات جوابی به دست نمیاد. دقت کنیدq فرده.
اگه

$k-1=4^{y-1}q$

داریم:

$4^y+1>4^{x-y}+1=(4^{y-1}q+1)q\Rightarrow q=1\rightarrow x-y=y-1\rightarrow 2y-x=1$

در نتیجه یک دسته جواب به دست میاید:

$(x,y,z)=(2y-1,y,2^{^2y-1}+1)$

Dadgarnia · 1394/8/14

پاسخ : ماراتن نظریه ی اعداد (سطح پیشرفته)

سوال بعد:

$a_1,a_2,\cdots ,a_n$

اعدادي طبيعي هستند به طوريكه

$\gcd(a_1,a_2,\cdots,a_n)=1$

و

$a_i|\sum_{j=1}^{n}a_j$

براي هر

$1\leq i\leq n$

. ثابت كنيد

$a_1a_2\cdots a_n|\left ( \sum_{i=1}^na_i \right )^{n-2}$

.

Sharifi_M · 1394/8/18

پاسخ : ماراتن نظریه ی اعداد (سطح پیشرفته)

Dadgarnia گفت

$a_i|\sum_{j=1}^{n}a_j$

پس داریم:

$[a_1,a_2,...,a_n]|\sum_{i=1}^{n}a_i$

در نتیجه داریم:

$[a_1,a_2,...,a_n]^{n-2}|(\sum_{i=1}^{n}a_i)^{n-2}$

برای اثبات حکم باید ثابت کنیم:

$a_1a_2...a_n|[a_1,a_2,...,a_n]^{n-2}$

عامل اول

$P$

رو که حداقل در یکی از این اعداد آمده در نظر بگیرید.
فرض کنید توان

$P$

در ک م م آنها

$\alpha$

باشد. در نتیجه در

$a_j$

ای توان

$P$

$\alpha$

است. و در بقیه از این مقدار بیشتر نیست.
حال اگر در رابطه عاد کردن بالا رو برای

$P$

بنویسیم سمت راست به

$P^{\alpha (n-2)}$

میرسیم و سمت راست در صورتی به عددی کمتری از این مقدار (یا برابر) میرسیم که تعداد اعدادی که عامل اول

$P$

دارند از n-1 کمتر باشد.
برابر n نیست. زیرا در این صورت که حلاف فرض سواله.
برابر n-1 نیست چون اگر اینطور باشه تنها یک عدده که

$P$

اون رو عاد نمیکنه. فرض کنید

$a_l$

اون عدد باشه در این صورت روابط عاد کردن

$a_i|\sum_{j=1}^{n}a_j$

برای i های نامساوی l غلط میشه چون سمت چپ رو P میشموره ولی سمت راست رو نه.
پس کمتر از n-1 عه.

حکم اثبات شد!

---- دو نوشته به هم متصل شده است ----

سوال بعد:
ثابت کنید بی نهایت وجود دارد که

$n \not =k$

و ب.م.م k!-1 و n!-1 از یک بیشتر شود. (لاتکس مشکل پیدا کرده مثل اینکه)

Dadgarnia · 1394/8/25

پاسخ : ماراتن نظریه ی اعداد (سطح پیشرفته)

Sharifi_M گفت

فرض کنید

$n$

عددی دلخواه باشه که

$n+2$

اول نیست و

$p|n!-1$

. با استفاده از قضیه ویلسون هم داریم

$p|(p-2)!-1$

پس

$\gcd(n!-1,(p-2)!-1)\geq p$

پس نامتناهی جفت با خواص سوال وجود داره.

---- دو نوشته به هم متصل شده است ----

سوال بعد:
ثابت کنید برای هر

$n$

اعداد صحیح و دو به دو نسبت به هم اول وجود دارند که

$k_1k_2\cdots k_n-1$

به شکل حاصل ضرب دو عدد صحیح متوالی باشد.

REZA 73 · 1394/8/26

پاسخ : ماراتن نظریه ی اعداد (سطح پیشرفته)

Dadgarnia گفت

$(1^2+1+1)$

$(1^2+1+1)(2^2+2+1)=4^2+4+1$

$(1^2+1+1)(2^2+2+1)(3^2+3+1)=16^2+16+1$

$(1^2+1+1)(2^2+2+1)(3^2+3+1)(15^2+15+1)=256^2+256+1$

$(1^2+1+1)(2^2+2+1)(3^2+3+1)(15^2+15+1)(255^2+255+1)=(256^2)^2+256^2+1$

با الگوریتم بالا اعداد

$k_{1},..,k_{n}$

به دست می آیند.
به راحتی هم میشه ثابت کرد اعداد داخل پرانتز نسبت به هم اولند. از اتحاد زیر برای به دست آوردن الگوریتم بالا استفاده شده :

$(m^2+m+1)((m+1)^2+(m+1)+1)=((m+1)^2)^2+(m+1)^2+1$

Dadgarnia · 1394/8/26

پاسخ : ماراتن نظریه ی اعداد (سطح پیشرفته)

سوال بعد:

$P(n)$

را بزرگترین عامل اول

$n$

تعریف می کنیم. همه ی اعداد

$n\geq 2$

را بیابید که

$P(n)+\left \lfloor \sqrt{n} \right \rfloor=P(n+1)+\left \lfloor \sqrt{n+1} \right \rfloor$

olampiad2 · 1395/1/14

پاسخ : ماراتن نظریه ی اعداد (سطح پیشرفته)

Dadgarnia گفت

همه اعداد چی رو بیابیم لاتکس خراب شده.

Dadgarnia · 1395/1/16

پاسخ : ماراتن نظریه ی اعداد (سطح پیشرفته)

olampiad2 گفت

والا من خودمم یادم نیست چی گذاشتم! اگه سوالی دارین لطفا بذارین.

olampiad2 · 1395/1/16

پاسخ : ماراتن نظریه ی اعداد (سطح پیشرفته)

معادله روبرو را در مجموعهZحل کنید.
a^2=b^3-6

olampiad2 · 1395/1/18

پاسخ : ماراتن نظریه ی اعداد (سطح پیشرفته)

راهنمایی: از قضایای مانده های درجه دوم استفاده کنید.

aras2213 · 1395/5/7

پاسخ : ماراتن نظریه ی اعداد (سطح پیشرفته)

olampiad2 گفت

واضحه که a زوج نیست ، چون در اون صورت b هم باید زوج باشه.پس سمت راست دقیقا یه عامل 2 داره ، ولی سمت چپ حداقل دو تا.

پس a,b فردن.
با یکم تغییر شکل معادله به این میرسیم: a^2-2=b^3-8. که (b^3-8=(b-2)((b+1)^2+1

حالا کافیه دقت کنیم که b-2 به شکل 4K+1 هست.ولی a^2-2 به شکل 4k+3 .پس پرانتز سمت راست باید به شکل 4k+3 باشه.پس یه عامل اول به این شکل داره.ینی p به شکل 4k+3 وجود داره که b^2+2b+2 رو عاد میکنه.که اگه به شکل b+1)^2+1) بنویسیمش، p باید 1 رو عاد کنه که تناقضه. :39::7:

Seyed Amir Hosseini · 1395/5/7

پاسخ : ماراتن نظریه ی اعداد (سطح پیشرفته)

aras2213 گفت

واضحه که a زوج نیست ، چون در اون صورت b هم باید زوج باشه.پس سمت راست دقیقا یه عامل 2 داره ، ولی سمت چپ حداقل دو تا.

پس a,b فردن.
با یکم تغییر شکل معادله به این میرسیم: a^2-2=b^3-8. که (b^3-8=(b-2)((b+1)^2+1

حالا کافیه دقت کنیم که b-2 به شکل 4K+1 هست.ولی a^2-2 به شکل 4k+3 .پس پرانتز سمت راست باید به شکل 4k+3 باشه.پس یه عامل اول به این شکل داره.ینی p به شکل 4k+3 وجود داره که b^2+2b+2 رو عاد میکنه.که اگه به شکل b+1)^2+1) بنویسیمش، p باید 1 رو عاد کنه که تناقضه. :39::7:

b^2+2b+4)(b-2) = b^3-8)

aras2213 · 1395/5/7

پاسخ : ماراتن نظریه ی اعداد (سطح پیشرفته)

Seyed Amir Hosseini گفت

راس میگی:39:

---- دو نوشته به هم متصل شده است ----

خب میشه این کارو کرد:

b^2+2b+4)(b-2) = b^3-8=a^2-2) . بعد اگه به پیمانه 8 نگاه کنیم ، میبینیم که،b به پیمانه 8 ، 7 میشه،پس b^2+2b+4 به پیمانه 8 میشه 3.پس یه عامل اول به فرم 8k+3 داره.این عامل اول که اسمشو p میذاریم، a^2-2 رو عاد میکنه، یعنی 2 به پیمانه p ماندست.که این نتیجه میده p ، به پیمانه 8 یا یکه، یا هفت که این تناقضه.

Seyed Amir Hosseini · 1395/5/8

پاسخ : ماراتن نظریه ی اعداد (سطح پیشرفته)

aras2213 گفت

چرا وقتي به پيمانه هشت سه هست عامل اولي به صورت 8k+3 داره ؟ ممكنه يه عامل اول به شكل 8k+5 و يكي به شكل 8k+7 داشته باشه
البته باز هم همون راه حل جواب ميده چون اينجا هم ميشه p را 8k+5 گرفت كه بازم تناقضه

ماراتن نظریه ی اعداد (سطح پیشرفته)

Sharifi_M

New Member

Dadgarnia

New Member

nsg2000gh

New Member

Dadgarnia

New Member

REZA 73

Active Member

Dadgarnia

New Member

Sharifi_M

New Member

Dadgarnia

New Member

REZA 73

Active Member

Dadgarnia

New Member

olampiad2

New Member

Dadgarnia

New Member

olampiad2

New Member

olampiad2

New Member

aras2213

New Member

Seyed Amir Hosseini

Active Member

aras2213

New Member

Seyed Amir Hosseini

Active Member