ماراتن نظریه اعداد (سطح مقدماتی)

Dadgarnia · 1393/8/14

پاسخ : ماراتن نظریه اعداد (سطح مقدماتی)

سوال بعد:
اگر p يك عدد اول باشد تمام a,b,c هاي طبيعي رابيابيد به طوريكه

$a^p+b^p=p^c$

AHZolfaghari · 1393/8/15

پاسخ : ماراتن نظریه اعداد (سطح مقدماتی)

Dadgarnia گفت

$a^p + b^p = (a+b)(a^{p-1}+a^{p-2}b+...+ab^{p-2}+b^{p-1})$

$\Rightarrow a+b=p^k$

$\left \| a^p+b^p \right \|_{p}=\left \| a+b \right \|_{p}+1=k+1=c$

$a^{p-1}+...+b^{p-1}=p\Rightarrow a=b=1$

$c=1$

---- دو نوشته به هم متصل شده است ----

البته حالت p=2 رو باید جداگانه چک کردچون لم دو خط برای p های فرد هست و برای p=2 یه دستور دیگه داره

---- دو نوشته به هم متصل شده است ----

البته حالت p=2 رو باید جداگانه چک کردچون لم دو خط برای p های فرد هست و برای p=2 یه دستور دیگه داره

math1998 · 1393/8/16

پاسخ : ماراتن نظریه اعداد (سطح مقدماتی)

AHZolfaghari گفت

P=2 یه نزول نامتناهی شکل میده که بازم به همین جواب میرسیم یهنی(a,b,c,p)=(1,1,1,2)

Dadgarnia · 1393/8/16

پاسخ : ماراتن نظریه اعداد (سطح مقدماتی)

AHZolfaghari گفت

جواب شما كامل نيست چون الان a=1,b=2,c=2,p=3 هم جوابه. براي p=2 هم لم دو خط فقط براي اعداد به شكل

$x^n-y^n$

تعريف شده.

---- دو نوشته به هم متصل شده است ----

math1998 گفت

نه فكر نكنم با نزول نامتناهي بشه چون ممكنه a,b فرد باشن اون وقت شما چه جوري مي خوايد نزول نامتناهي بزنين؟ براي p=2 راه هاي خيلي ساده تري هم وجود داره.

AHZolfaghari · 1393/8/16

پاسخ : ماراتن نظریه اعداد (سطح مقدماتی)

آخ آخ من تو تجزیه یه اشتباهی کردم !!!

$a^{p-1}-...+b^{p-1}=p$

با شرط a>b

$(a-b)(a^{p-2}+a^{p-4}b^2+...+b^{p-3}a)+b^{p-1}=p\geq b^{p-1}$

پس b=1

$a+1=p^k , a^{p-1}-a^{p-2}+a^{p-3}-...+1=p$

$(a-1)(a^{p-2}+a^{p-4}+...+a^3+a)=p-1<p^k=a+1$

اگه a یک نباشه پس

$a^{p-2}+a^{p-4}+...+a^3+a<a+1$

پس p=3 رو میده که باید چک کنیم

$a^3 + 1 = 3^c$

که باید a=2 باشه .
حالت p=2 رو هم باید چک کرد

---- دو نوشته به هم متصل شده است ----

سوال بعد :
تمام توابع f از اعداد طبیعی به خودش را بیابید که

$f(m)+f(n)\vert (m+n)^k$

که k یه عدد طبیعی است

math1998 · 1393/8/16

پاسخ : ماراتن نظریه اعداد (سطح مقدماتی)

Dadgarnia گفت

نه خب دیگه فرض میکنیم c>1 و معادله رو به پیمانه 4 بررسی میکنیم اون وقت بدیهیه که هر دو باید زوج باشن!!!

Dadgarnia · 1393/8/16

پاسخ : ماراتن نظریه اعداد (سطح مقدماتی)

math1998 گفت

بله درسته ولي جواب آخرش اينجوري ميشه:

$2^{k-1},2^{k-1},2k-1$

كه k يه عدد طبيعيه.

math1998 · 1393/8/16

پاسخ : ماراتن نظریه اعداد (سطح مقدماتی)

AHZolfaghari گفت

$p(m,m)\Rightarrow f(m)\mid 2^{k-1}m^k$

حالا میایم یه کار خوب میکنیم فرض کنیم

$m$

ثابته و

$n$

متغیر پس میتونیم

$n$

رو طوری انتخاب کنیم که

$m+n_{i}=p_{i},p_{i}=prime$

$f(m)+f(n_{i})\mid p_{i}^k\Rightarrow f(m)+f(n_{i})=p^{s_{i}}$

اما طبق رابطه اولیه داریم که با توجه به اینکه

اگه حداقل دوتا از اعداد برد مثل

$f(a),f(b)$

زوج باشن پس یعنی داریم که توانای 2 شون برابره پس میتونیم نتیجه بگیریم

$f(2^i)=f(2^j),i\neq j$

حالا اگه

$t$

یه عدد ثابت باشه و حداقل 2 تا از

$i,j$

وجود داشته باشن که

$f(2^i)+f(t)=p^s,f(2^j)+f(t)=q^v\Rightarrow q^v=p^s$

که تناقضه پس اعدادی وجود دارن که تابعشون تو برد نیست دو حالت دیگه میمونه که یکیشون سادت و رد میشه و جواب اون یکی هم تابع همانی میشه اگه خواستید بنویسم!!!

حالت دوم اینه که

$f(n)=n^s$

که خیلی راحت میشه فهمید همانیه و

$s_{1}=s_{2}=....=1$

حالت سوم هم اینه که یکی زوج و بقیه فرد باشن که اینم مثل حالت اول رد میشه!!!

Dadgarnia · 1393/8/16

پاسخ : ماراتن نظریه اعداد (سطح مقدماتی)

AHZolfaghari گفت

يه راه ديگه:
به راحتي داريم

$f(1)=2^m$

با توجه به اين رابطه داريم (p يه عدد اوله):

$f(p-1)+2^m=p^{n_1}$

حالا اگه به جاي p دو قرار بديم بدست مياد

$n_1=m+1$

حالا به همين ترتيب داريم:

$f(2)=3^{m+1}-2^m\Rightarrow f(p-2)=p^{m+1}-3^{m+1}+2^m$

$f(3)=5^{m+1}-3^{m+1}+2^m\Rightarrow f(p-3)=p^{m+1}-5^{m+1}+3^{m+1}-2^m$

با توجه به اين روابط مي تونيم

$f(4)$

رو به دو طريق بدست بياريم كه بدست مياد:

$7^{m+1}+3^{m+1}=2\cdot5^{m+1}$

حالا اگه دو طرف رو به پيمانه ي ٣ در نظر بگيريم داريم

$m=2k$

. حالا با توجه به لم دو خط داريم:

$2k+1=v_5(7^{2k+1}+3^{2k+1})=v_5(2k+1)+1\Rightarrow v_5(2k+1)=2k$

اگه k صفر نباشه داريم

$5^{2k}\leq 2k+1$

كه تناقضه. پس m=0 كه نتيجه ميده:

$f(1)=1,f(p-1)=p-1$

حالا با استقرا ثابت مي كنيم

$f(n)=n$

فرض مي كنيم

$f(k-1)=k-1,f(p-(k-1))=p-(k-1)$

و اين رابطه براي هر k از دو تا k صحيح باشه. اول ثابت مي كنيم

$f(k)=k$

فرض مي كنيم p عددي اول بين k,2k باشه. پس حتما يكي از اعداد

$p-(i-1),\,\, 2\leq i\leq k$

برابر با k هست. حالا براي اثبات گام استقرا كافيه ثابت كنيم

$f(p-k)=p-k$

داريم:

$f(p-k)+k=p^n$

حالا اگه p يك عدد اول بين k,2k باشه بدست مياد n=1 و گام استقرا ثابت ميشه. پس براي هر n طبيعي

$f(n)=n$

است.

---- دو نوشته به هم متصل شده است ----

سوال بعد:
همه ي اعداد طبيعي x,y را بيابيد كه

$\frac{x^2y+x+y}{xy^2+y+11}$

عددي طبيعي باشد.

math1998 · 1393/8/16

پاسخ : ماراتن نظریه اعداد (سطح مقدماتی)

Dadgarnia گفت

يه راه ديگه:
به راحتي داريم

$f(1)=2^m$

با توجه به اين رابطه داريم (p يه عدد اوله):

$f(p-1)+2^m=p^{n_1}$

حالا اگه به جاي p دو قرار بديم بدست مياد

$n_1=m+1$

حالا به همين ترتيب داريم:

$f(2)=3^{m+1}-2^m\Rightarrow f(p-2)=p^{m+1}-3^{m+1}+2^m$

$f(3)=5^{m+1}-3^{m+1}+2^m\Rightarrow f(p-3)=p^{m+1}-5^{m+1}+3^{m+1}-2^m$

با توجه به اين روابط مي تونيم

$f(4)$

رو به دو طريق بدست بياريم كه بدست مياد:

$7^{m+1}+3^{m+1}=2\cdot5^{m+1}$

حالا اگه دو طرف رو به پيمانه ي ٣ در نظر بگيريم داريم

$m=2k$

. حالا با توجه به لم دو خط داريم:

$2k+1=v_5(7^{2k+1}+3^{2k+1})=v_5(2k+1)+1\Rightarrow v_5(2k+1)=2k$

اگه k صفر نباشه داريم

$5^{2k}\leq 2k+1$

كه تناقضه. پس m=0 كه نتيجه ميده:

$f(1)=1,f(p-1)=p-1$

حالا با استقرا ثابت مي كنيم

$f(n)=n$

فرض مي كنيم

$f(k-1)=k-1,f(p-(k-1))=p-(k-1)$

و اين رابطه براي هر k از دو تا k صحيح باشه. اول ثابت مي كنيم

$f(k)=k$

فرض مي كنيم p عددي اول بين k,2k باشه. پس حتما يكي از اعداد

$p-(i-1),\,\, 2\leq i\leq k$

برابر با k هست. حالا براي اثبات گام استقرا كافيه ثابت كنيم

$f(p-k)=p-k$

داريم:

$f(p-k)+k=p^n$

حالا اگه p يك عدد اول بين k,2k باشه بدست مياد n=1 و گام استقرا ثابت ميشه. پس براي هر n طبيعي

$f(n)=n$

است.

---- دو نوشته به هم متصل شده است ----

سوال بعد:
همه ي اعداد طبيعي x,y را بيابيد كه

$\frac{x^2y+x+y}{xy^2+y+11}$

عددي طبيعي باشد.

اگه اشتباه نکنم این سوال تکراریه فقط اونموقع 7 بجا 11 بود!!!

Dadgarnia · 1393/8/16

پاسخ : ماراتن نظریه اعداد (سطح مقدماتی)

math1998 گفت

خب اگه تكراريه يه نفر لطفا سوال بعد رو بذاره!

math1998 · 1393/8/16

پاسخ : ماراتن نظریه اعداد (سطح مقدماتی)

Dadgarnia گفت

مجموعه

$A$

مجموعه اعداد فرد است برای هر عضو

$A$

مانند

$k$

ایا عدد طبیعی مانند

$t$

وجود دارد که

$2^t+k$

عددی اول باشد

TheOverlord · 1393/8/17

پاسخ : ماراتن نظریه اعداد (سطح مقدماتی)

k راطوري ارائه ميدهيم كه براي هر t ، عبارت مساله مركب باشد. پس جواب نه است.
فرض كنيد k-1 بر سه -كوچكترين عدد اول فرما- بخش پذير باشد. پس اگر عبارت اول باشد واضح است كه t زوج است.
همچنين اگر k-1 بر ٥- دومين عدد فرما- بخش پذير باشد چون t زوج است بر ٤ بخش پذير است.
اگر اين عمليات را براي ١٧،٢٥٧،٦٥٥٣٧ كه اعداد اول بعدي فرما هستند پياده كنيم نتيجه ميشود t بر ٣٢ بخش پذير است.
حال k را طوري ارائه ميدهيم كه علاوه بر داشتن شروط بالا، همزمانt بر ٦٤ بخش پذير باشد و نباشد كه با وجود t كه به ازاي آن عبارت اول شود تناقض دارد.
دقت كنيد كه عدد پنجم فرما اول نيست و بر دو عدد ٦٤١ و كوفت بخش پذير است. حال k را طوري بگيريد كه به پيمانه ٦٤١ برابر ١ و به پيمانه كوفت برابر منفي يك باشد. طبق باقيمانده چيني حتما k وجود دارد كه در همه شرايط صدق كند . بديهتا چون k به پيمانه ٦٤١ برابر ١ است و عدد ٥ ام فرما بر ٦٤١ بخش پذير است t بر ٦٤ بخش پذير است. اما بديهتا اگر t بر ٦٤ بخش پذير باشد عبارت مساله بر كوفت بخش پذير ميشود، كه اگر كوفت به اندازه كافي بزرگ باشد با اول بودن عبارت متناقض است. اما باقيمانده چيني جواب هاي به اندازه كافي بزرگي ميدهد. پس حكم اثبات شد.

Dadgarnia · 1393/8/18

پاسخ : ماراتن نظریه اعداد (سطح مقدماتی)

سوال بعد:
آیا عددی طبیعی مانند n وجود دارد که n دقیقا 2000 عامل اول داشته باشد و n،

$2^n+1$

را بشمارد؟

AHZolfaghari · 1393/8/18

پاسخ : ماراتن نظریه اعداد (سطح مقدماتی)

Dadgarnia گفت

جواب بله است و سعی کنید این عدد رو بسازید مثلا بگید عامل اولش چی باشه دومین عاملش چی باشه و ... جوری که تضمین باشه در هرمرحله میشه یه عدد اضافه کرد

m-saghaei · 1393/8/19

پاسخ : ماراتن نظریه اعداد (سطح مقدماتی)

سوال های بعد:
1)

$3^k|1!+2!+...+n!\rightarrow max(k)=?$

2) به ازای چه مقدار طبیعی n عدد صحیح

$[(\frac{3+\sqrt{17}}{2})^{n}]$

زوج است؟(منظور جزء صحیحه)

math1998 · 1393/8/19

پاسخ : ماراتن نظریه اعداد (سطح مقدماتی)

m-saghaei گفت

$\sum n!\equiv \sum_{k=1}^{8}k!(mod27)\Rightarrow \sum n!\equiv 18(mod 27)\Rightarrow k=2$

اما

$\parallel 7!\parallel _{3}=4\Rightarrow max(k)=4$

اگه اشتباه نکنم مشابه سوال 2 هم تو میرزاخانی هست!!!

Dadgarnia · 1393/8/23

پاسخ : ماراتن نظریه اعداد (سطح مقدماتی)

سوال بعد:
همه ی اعداد طبیعی

$a,b \,\,$

و عدد اول

$p$

را بیابید به طوریکه

$2^a+p^b=19^a$

باشد.

m-saghaei · 1393/8/23

پاسخ : ماراتن نظریه اعداد (سطح مقدماتی)

Dadgarnia گفت

اول 2 به توان a رو میبریم اونطرف.بعد mod 17 میگیریم نتیجه میشه چون طرف راست به 17 بخشپذیره طرف چپ هم بخشپذیره.پس p=17
حالا داریم 17 به توان b مساویه با 19 به توان a منهای 2 به توان a .بعدش میایم 17 رو به صورت 2-19 مینویسیم و بسط میدیم.اگه مقایسه کنیم دوتا جمله رو میبینیم که a=b .حالا داریم 17 به توان a مساویه با 19 به توان a منهای 2 به توان a.که به سادگی نتیجه میشه a=1 پس تنها جواب اینه: (p,a,b)=(17,1,1)

math1998 · 1393/8/23

پاسخ : ماراتن نظریه اعداد (سطح مقدماتی)

Dadgarnia گفت

واضحه که

$p=17$

بعدش 2 رو میبریم اونور و یه لم دوخط میزنیم

$(a,b,p)=(1,1,17)$

محاسبه نکردم جواب دیگه ای نداره درسته؟؟!!

ماراتن نظریه اعداد (سطح مقدماتی)

New Member

Well-Known Member

New Member

New Member

Well-Known Member

New Member

New Member

New Member

New Member

New Member

New Member

New Member

New Member

New Member

Well-Known Member

New Member

New Member

New Member

New Member

New Member