ماراتن نظریه اعداد (سطح مقدماتی)

REZA 73 · 1393/9/18

پاسخ : ماراتن نظریه اعداد (سطح مقدماتی)

الان اگه سه رو انتخاب کنیم و از بین اون اعدادی که گفتید 100!+5 رو انتخاب کنیم چطوری عاد میکنه??? اعداد به تصادف انتخاب میشن ها .

Dadgarnia · 1393/9/18

پاسخ : ماراتن نظریه اعداد (سطح مقدماتی)

REZA 73 گفت

بله حق با شماست جوب زدم :4:.

Dadgarnia · 1393/9/20

پاسخ : ماراتن نظریه اعداد (سطح مقدماتی)

اين سوال ايده اش باقي مانده چينيه نه؟ من تا حدودي تونستم ثابت كنم ولي هنوز كامل ثابت نشده. ميشه ثابت كرد هميشه بي نهايت عدد دو به دو نسبت به هم اول توي اين دنباله وجود داره؟

REZA 73 · 1393/9/20

پاسخ : ماراتن نظریه اعداد (سطح مقدماتی)

Dadgarnia گفت

ابتدا در مورد سوالی که گذاشته بودین:
اگه معادله رو بر حسب z مرتب كنيم داریم :

$z^2=\frac{xy(x+y)}{x-y}$

یا

$z^2=\frac{xy(x-y)}{x+y}$

حالا ثابت میکنم که هیچ کدوم جواب نداره مثلا دومی اون یکی مشابهه:

$x=ad .......y=bd......(a,b)=1$

$z^2=\frac{d^{2}ab(a-b)}{a+b}$

حالا فرض کنید تمام عوامل مشترک d و z رو ساده کرده باشیم اونوقت باید داشته باشیم
abو a-b نسبت به هم اولن پس:

$a=s^2$

$b=t^2$

$a-b=m^2$

$a+b=d^2$

و این تناقضه .میشه از فرم اعداد فیثاغورسی برای رسید به تناقض استفاده کرد. البته یه حالت دیگه هم وجود داره گه:

$a+b=2d^2$

$a-b=2m^2$

که این هم مشابه قبلیه فقط تو این حالت m,d نسبت به اولا.

در مورد باقیمانده چینی هم نمیدونم حل میشه یا نه ولی راه حل ساده تری داره

---- دو نوشته به هم متصل شده است ----

REZA 73 گفت

ادامه ی اثبات:اگه a-b رو در a+b ضرب کنیم به این میرسیم که s به توان 4 منهای t به توان 4 یه مربع کامل میشه که این معادله هم جواب نداره، فک کنم معادله معروفیه.
:178::178:

محمد 628 · 1393/9/21

پاسخ : ماراتن نظریه اعداد (سطح مقدماتی)

سوال بعد
کوچکترین n>100 ای رو پیدا کنین که

$2^n-3$

بر n بخشپذیر باشه.

m-saghaei · 1393/10/9

پاسخ : ماراتن نظریه اعداد (سطح مقدماتی)

محمد 628 گفت

لطفا اگه کسی جواب این سوالو میدونه بگه تا بریم سوال بعدی!
تقریبا 20 روز گذشته!

Dadgarnia · 1393/10/9

پاسخ : ماراتن نظریه اعداد (سطح مقدماتی)

REZA 73 گفت

يه راهنمايي براي اين سوال مي كنيد؟

---- دو نوشته به هم متصل شده است ----

m-saghaei گفت

اين سوال فكر نكنم راه ديگه اي به غير از استفاده از كامپيوتر داشته باشه البته بد نيست كه اين لينكو ببينين: AoPS Forum - A 74 • Art of Problem Solving يه سوال مشابه ست. من كه ايده ي اين كسي كه جوابو نوشته نفهميدم ولي شايد بتونه به حل اين سوال كمك كنه.

REZA 73 · 1393/10/9

پاسخ : ماراتن نظریه اعداد (سطح مقدماتی)

راهنمایی:

$a+1,a+2,...,a+100$

$b+1,b+2,...,b+100$

ثابت کنید یه b وجود داره که به ازای

$1\leq i\leq 100$

داریم

$a+i\mid b+i$

Dadgarnia · 1393/10/9

پاسخ : ماراتن نظریه اعداد (سطح مقدماتی)

REZA 73 گفت

خودم هم اين به ذهنم رسيده بود ولي نمي دونم چرا اون وقت حل نشد.
ميايم دنباله ي

$\left \{ a_n \right \}_{n=1}^\infty$

رو اينجوري تعريف مي كنيم

$a_{n+1}=\prod_{i=1}^{100}(a_n+i)+a_n$

و

$a_1$

هم يه عدد دلخواه و طبيعيه. واضحه كه

$a_n+i|a_m+i$

براي هر

$m\geq n$

و

$1\leq i\leq 100$

به راحتي مي تونيم ببينيم كه توي دنباله هاي

$a_i+1,a_i+2,\cdots,a_i+100$

به هر صورتي عدد ها رو انتخاب كنيم دو عدد a,b پيدا ميشن كه a ميشمره b رو.

---- دو نوشته به هم متصل شده است ----

سوال بعد:
تمام جفت اعداد طبيعي

$(a,b)$

را بيابيد به طوريكه

$\frac{a^2(b-a)}{a+b}$

مربع يك عدد اول باشد.

REZA 73 · 1393/10/9

پاسخ : ماراتن نظریه اعداد (سطح مقدماتی)

Dadgarnia گفت

این طوری حل میشه:

$a=dx , b=dy ,(x,y)=1\Rightarrow \frac{d^2x^2(y-x)}{y+x}=p^2\Rightarrow x=1 , p$

حالا در هر حالت x جواب ها به دست می آید. مثلا x=1 :

$d^2\frac{y-1}{y+1}=p^2$

برای این کافیه y رو زوج و فرد کنید.
یا x=p:

$d^2=\frac{x+y}{y-x}=1+\frac{2x}{y-x}\Rightarrow y-x=1 or 2$

AHZolfaghari · 1393/10/9

پاسخ : ماراتن نظریه اعداد (سطح مقدماتی)

سوال بعد
تمام اعداد طبیعی ,C , A,B و اول P را بیابید بطوری که

$a^p + b^p = p^c$

---- دو نوشته به هم متصل شده است ----

ظاهرا سوال تکراری بود . تو صفحات قبلی همین تاپیک وجود داره.
تمام n های طبیعی رو بیابید که m طبیعی وجود داشته باشد به نحوی که

$2^n-1 \vert m^2 + 9$

---- دو نوشته به هم متصل شده است ----

اینم تکراری بود اما این انصافا تکراری نیست !!!!

a , C سه عدد طبیعی و B یک عدد صحیح هستند . اثبات کنید معادله هم نهشتی زیر جواب دارد

$a^x + x \equiv b (mod c)$

aras2213 · 1393/10/9

پاسخ : ماراتن نظریه اعداد (سطح مقدماتی)

AHZolfaghari گفت

سوال بعد
تمام اعداد طبیعی ,C , A,B و اول P را بیابید بطوری که

$a^p + b^p = p^c$

---- دو نوشته به هم متصل شده است ----

ظاهرا سوال تکراری بود . تو صفحات قبلی همین تاپیک وجود داره.
تمام n های طبیعی رو بیابید که m طبیعی وجود داشته باشد به نحوی که

$2^n-1 \vert m^2 + 9$

---- دو نوشته به هم متصل شده است ----

اینم تکراری بود اما این انصافا تکراری نیست !!!!

a , C سه عدد طبیعی و B یک عدد صحیح هستند . اثبات کنید معادله هم نهشتی زیر جواب دارد

$a^x + x \equiv b (mod c)$

http://www.irysc.com/forum/t9771/

AHZolfaghari · 1393/10/9

پاسخ : ماراتن نظریه اعداد (سطح مقدماتی)

aras2213 گفت

پس بی زحمت خودتون اگه سوالی دارید مرحمت بفرمائید

Dadgarnia · 1393/10/9

پاسخ : ماراتن نظریه اعداد (سطح مقدماتی)

با اجازه ي دوستان من يه سوال خوب گير آوردم گفتم بيام اينجا بذارم:
همه ي اعداد اول

$p\geq 3$

را بيابيد به طوريكه

$p-q\left \lfloor \frac{p}{q} \right \rfloor$

براي هر عدد اول

$q<p$

خالي از مربع باشد.

REZA 73 · 1393/10/10

پاسخ : ماراتن نظریه اعداد (سطح مقدماتی)

Dadgarnia گفت

اگه q عدد اولی باشه که :

$q\mid p-4$

اونوقت 4 عاد میکنه صورت مساله رو. پس p-4 باید فقط عامل اول کوچتر از 4 داشته باشه. یعنی

$p=3^x+4$

برای این اعداد کافیه q رو در نظر بگیریم که q عاد میکنه p-9 رو. در این صورت 9عبارت مورد نظر رو عاد میکنه مگر حالتی که p این طوری باشه:

$p=9+2^a 5^b 7^c$

حالا باید این رو حل کنیم:

$p=9+2^a 5^b 7^c=4+3^x$

واضحه که توان 5 صفره. اگه a بزرگتر از دو باشه با بررسی به هنگ 4 میشه فهمید x زوجه و این تناقضه.(کافیه به هنگ 7 بررسی بشه)
حالتی هم که a برابر 1 باشه با بررسی به هنگ سه تناقض واضحه.
پس جواب مساله حالت های خاص این معادله میشه.
ویرایش:
ادامه حل: البته این حالت میمونه:

$9+2^a=4+3^x\Rightarrow 5=3^x-2^a$

یه بار به پیمانه 3 بررسی کنیم :a زوجه.
به پیمانه 5(با توجه به زوج بودن a میتوان فهمید x هم زوجه)

$5=(3^{\frac{x}{2}}+2^{\frac{a}{2}})(3^{\frac{x}{2}}-2^{\frac{a}{2}})$

پس جواب ها میشن:2و3و5و7و13

# راه حلمو چک نکردم امیدوارم جوب نزده باشم#

محمد 628 · 1393/10/11

پاسخ : ماراتن نظریه اعداد (سطح مقدماتی)

سوالم آسونه فقط وقت گیره.همون بخشپذیری دو به توان n منها 3 بر n رو میگم اگر تا 10 روز دیگه حل نشد جوابشو میزارم.

Dadgarnia · 1393/10/13

پاسخ : ماراتن نظریه اعداد (سطح مقدماتی)

سوال بعد:

$p$

عددی اول و

$k,n$

اعدادی طبیعی هستند که

$\gcd(p,n)=1$

ثابت کنید

$\gcd(p,\binom{np^k}{p^k})=1$

.

aras2213 · 1393/10/13

پاسخ : ماراتن نظریه اعداد (سطح مقدماتی)

Dadgarnia گفت

فرض کنید

$n=(\overline{a_ta_{t-1}...a_0})_p$

نمایش n در مبنای p باشد،در این صورت طبق قضیه لوکاس،

$\binom{np^k}{p^k}\equiv \binom{a_t}{0}...\binom{a_1}{0}\binom{a_0}{1}\binom{0}{0}...\binom{0}{0}\equiv a_0\not\equiv 0\textrm{ mod p}$

.

---- دو نوشته به هم متصل شده است ----

سوال بعد:همه

$P(x)\in \mathbb{Z}[x]$

را بیابید به طوری که

$a+b+c\mid P(a)+P(b)+P(c)$

.(برای هر a,b,c صحیح)

---- دو نوشته به هم متصل شده است ----

مثل این که سوال قبل رو گذاشته بودن،این یه سوال دیگه:

همه ی m,n طبیعی را بیابید که

$3^m=2^mn+1$

.

Dadgarnia · 1393/10/13

پاسخ : ماراتن نظریه اعداد (سطح مقدماتی)

aras2213 گفت

اگه

$m=1$

باشه جواب

$m=n=1$

بدست میاد حالا فرض می کنیم

$m>1$

باشه دو طرف رو به پیمانه ی چهار در نظر می گیریم:

$(-1)^m\equiv 1\pmod 4\Rightarrow \exists k\in \Bbb{Z}:m=2k$

با جایگذاری این رابطه در صورت سوال داریم:

$(3^k-1)(3^k+1)=2^{2k}n$

اول فرض می کنیم

$k$

فرد باشه که بدست میاد:

$v_2(3^{2k}-1)=3,v_2(2^{2k}n)=2k+v_2(n)\Rightarrow k=1\Rightarrow m=n=2$

حالا فرض می کنیم

$k=2^{\alpha}l,\alpha>0,\gcd(l,2)=1$

که نتیجه میده:

$v_2(3^{2k}-1)=\alpha+3,v_2(2^{2k}n)=2^{\alpha+1}l+v_2(n)\Rightarrow \alpha=1\Rightarrow m=4,n=5$

پس این معادله همین سه جوابو فقط داره.

---- دو نوشته به هم متصل شده است ----

سوال بعد:
معادله ی زیر را در اعداد صحیح نامنفی حل کنید:

$7^x+1=3^y+5^z$

TheOverlord · 1393/10/14

پاسخ : ماراتن نظریه اعداد (سطح مقدماتی)

ابتدا فرض کنید

$x,y,z > 0$

0"> .

$3^x+1 \overset{4}\equiv 3^y+1 \Rightarrow x\overset{2}\equiv y$

سپس با بررسی باقیمانده های ممکن به پیمانه 5 داریم:

$2^x+1 \overset{5}\equiv 3^y \Rightarrow (x,y)\overset{4}\equiv (1,1)\ or\ (3,2)\ or\ (4,3)$

پس

$x\overset{2}\equiv y \Rightarrow x\overset{4}\equiv y \overset{4}\equiv 1$

حال به پیمانه 6 بررسی میکنیم.

$2 \overset{6}\equiv 3+5^z \Rightarrow z\overset{2}\equiv 1$

با بررسی باقیمانده های ممکن به پیمانه 7 داریم:

$y \overset{6} \equiv z$

و با بررسی باقیمانده های ممکن به پیمانه 13 داریم :

$x\overset{12}\equiv 1, z\overset{4}\equiv 1$

پس

$x\overset{12}\equiv y\overset{12}\equiv z\overset{12}\equiv 1$

حال اگر به پیمانه 9 بررسی کنیم

$8\overset{9}\equiv 5+3^y \Rightarrow y=1$

و با بررسی به پیمانه 25 داریم

$8\overset{25}\equiv 5^z+3 \Rightarrow z=1$

پس بدیهتا

$x=1$

پس

$(x,y,z)=(1,1,1)$

حال فرض کنید یکی از این اعداد 0 باشد. بدیهتا اگر

$x=0 \Rightarrow y=z=0$

یعنی یک جواب دیگر

$(x,y,z)=(0,0,0)$

است. حال اگر

$yz=0 \Rightarrow 7^x=3^y \ or\ 5^{z} \Rightarrow x=y=z=0$

پس نهایتا این معادله تنها دو جواب

$(x,y,z)=(0,0,0)$

و

$(x,y,z)=(1,1,1)$

را دارد.

---- دو نوشته به هم متصل شده است ----

ثابت کنید دنباله ای حسابی به طول 11 از اعداد اول مثبت کوچکتر از 20000 وجود ندارد.

ماراتن نظریه اعداد (سطح مقدماتی)

Active Member

New Member

New Member

Active Member

New Member

New Member

New Member

Active Member

New Member

Active Member

Well-Known Member

New Member

Well-Known Member

New Member

Active Member

New Member

New Member

New Member

New Member

New Member