ماراتن نظریه اعداد (سطح مقدماتی)

Dadgarnia · 1393/10/14

پاسخ : ماراتن نظریه اعداد (سطح مقدماتی)

فرض می کنیم دنباله ی ما به این شکل باشه:

$a+kb,0\leq k\leq 10$

که

$a,b$

طبیعین اگه b بر هر کدوم از اعداد 2,3,5,7,11 بخشپذیر نباشه یکی از اعضای دنباله بر اون عدد بخشپذیر میشه که با اول بودن این اعداد در تناقضه. پس داریم:

$20000> a+10b> 23100$

که تناقضه.
درسته؟

---- دو نوشته به هم متصل شده است ----

گفتم شاید استدلال قبل یکم نا مفهوم باشه اینم یه استدلال کامل تر:
مثلا یازده رو در نظر بگیرین و فرض کنید b بر 11 بخشپذیر نباشه پس برای هر دو عدد

$0\leq k,l\leq 10,k\neq l$

داریم:

$a+kb\not\equiv a+lb\pmod {11}$

پس باقیمانده های اعداد دنباله بر 11، یازده عدد مختلفه پس حتما یکیش صفره ولی اعداد ما اولند که میشه تناقض برای بقیه هم میشه همین استدلالو به کار برد.
سوال بعد:
اگر

عددی اول باشد ثابت کنید حداقل دو عدد اول و متمایز

وجود دارند که برای

داشته باشیم

و

.

TheOverlord · 1393/10/14

پاسخ : ماراتن نظریه اعداد (سطح مقدماتی)

استدلالتون ایراد داره: شاید یکی از اعضای دنباله خودش 11 یا 7 یا ... باشه!

Dadgarnia · 1393/10/14

پاسخ : ماراتن نظریه اعداد (سطح مقدماتی)

TheOverlord گفت

بله حق با شماست. براي 2,3,5 واضحه كه a نمي تونه يكي از اين اعداد باشه و همون استدلال قبل جواب ميده همچنين براي هفت هم a نمي تونه برابر با هفت باشه و تنها حالتش اينه كه

$a+4b$

برابر با هفت باشه كه a,b مستقيما بدست ميان و به راحتي قابل بررسيه. براي يازده هم راحت ميشه حالت بندي كرد.
راه خودتون براي اين سوال چيه؟

TheOverlord · 1393/10/14

پاسخ : ماراتن نظریه اعداد (سطح مقدماتی)

همون بود گرچه فکر میکردم اینکه برای 11 درسته انقدر هم بدیهی نباشه. برای 7 هم استدلالتون رو متوجه نشدم .

Dadgarnia · 1393/10/14

پاسخ : ماراتن نظریه اعداد (سطح مقدماتی)

TheOverlord گفت

براي هفت اگه يكي از اعداد

$a+b,a+2b,a+3b$

برابر با هفت باشن همون استدلال قبلي جواب ميده پس فقط اعداد

$a+4b,a+5b,a+6b$

مي تونن برابر با هفت باشن كه چون a عددي اول و فرده فقط

$a+4b$

مي تونه برابر با هفت باشه كه از اينجا بدست مياد

$a=3,b=1$

كه به راحتي قابل بررسيه. براي يازده راستش زياد روش فكر نكردم ولي فقط a مي تونه يازده باشه چون ثابت كرديم b بر 2,3,5,7 بخشپذيره حالا از اونجايي كه

$a+10b< 20000$

هفت حالت مختلف براي b بدست مياد كه بايد بررسي بشه.

TheOverlord · 1393/10/14

پاسخ : ماراتن نظریه اعداد (سطح مقدماتی)

نه 2 حالتم کافیه ...

Dadgarnia · 1393/10/15

پاسخ : ماراتن نظریه اعداد (سطح مقدماتی)

با اجازه ی آقای پویا میریم سراغ سوال بعد البته این سوالو یه بار گذاشتم ولی برای اینکه دیده بشه دوباره میذارم:
اگر

عددی اول باشد ثابت کنید حداقل دو عدد اول و متمایز

وجود دارند که برای

داشته باشیم

و

.

TheOverlord · 1393/10/15

پاسخ : ماراتن نظریه اعداد (سطح مقدماتی)

$n$

$(p-1)^{p}\overset{p^2}\equiv -1 \Rightarrow (p-1)^{p-1}\overset{p^2}\equiv p+1$

حال فرض كنيد

$p-1=p_1^{\alpha_1}\dots p_k^{\alpha_k}$

اما بديهتا

$1<p_i <p$

حال اگر هيچ عدد اولي در خواص مساله صدق نكند

$\forall 1\leq i \leq k : p_i^{p-1}\overset{p^2}\equiv 1 \Rightarrow (p_i^{\alpha_i})^{p-1}\overset{p^2}\equiv 1 \Rightarrow 1\overset{p^2}\equiv \Pi_{i=1}^k(p_i^{\alpha_i})^{p-1}\ \ =(p-1)^{(p-1)}\overset{p^2}\equiv p+1$

كه تناقضه يعني يكي از مقسوم عليه هاي

$p-1$

در خواص مساله صدق ميكنه. فرض كنيد اون

$q$

باشه. حالا دقت كنيدكه

$(p-q)^p\overset{p^2}\equiv (-q)^p = -q^p$

پس

$(p-q)^p \not\overset{p^2}\equiv 1$

اما به همون شكلي كه قبلا گفتيم پس يه عامل اول از
p-q
وجود داره كه در شرايط مساله صدق ميكنه كه بديهتا از
q
متمايزه. پس دو تا عدد اول متمايز پيدا كرديم كه در شرايط مساله صدق ميكند.
نميدونم چرا اين آخرش هم فونت نوشتم خراب شده بود هم فرمول درست نميشد ببخشيد ديگه.

فرض كنيد

$M(n)$

بزرگترين مقسوم عليه اكيد

$n$

باشد . همه اعدادي را بيابيد كه

$n+M(n)$

تواني از ١٠ باشد

Dadgarnia · 1393/10/15

پاسخ : ماراتن نظریه اعداد (سطح مقدماتی)

من برداشتم از مقسوم عليه اكيد بزرگترين مقسوم عليه بعد از n هست.
اگه فرض كنيم

$n=\prod_{i=1}^{k}p_i^{\alpha_i}$

كه

$p_1<p_2<\cdots<p_k$

اونوقت داريم

$M(n)=p_1^{\alpha_1-1}\prod_{i=2}^{k}p_i^{\alpha_i}$

پس بايد داشته باشيم:

$(p_1+1)p_1^{\alpha_1-1}\prod_{i=2}^{k}p_i^{\alpha_i}=10^l\Rightarrow p_1=3,\alpha_1=1,p_2=5,\alpha_2=2,k=2$

كه نتيجه ميده

$n=75$

البته واضحه كه n نمي تونه فقط يه مقسوم عليه اول داشته باشه.

Dadgarnia · 1393/10/16

پاسخ : ماراتن نظریه اعداد (سطح مقدماتی)

سوال بعد:
اگر

$k,l$

دو عدد صحيح باشند، ثابت كنيد بي نهايت عدد صحيح

$m\geq k$

وجود دارد كه داشته باشيم:

$\gcd\left ( \binom{m}{k},l \right )=1$

REZA 73 · 1393/10/18

پاسخ : ماراتن نظریه اعداد (سطح مقدماتی)

Dadgarnia گفت

اگه قرار بدیم

$m=l^{s}-1$

اونوقت داریم:

$\frac{(l^{s}-1)...(l^s-k))}{k!}$

برای این که ب.م.م 1 باشه باید کسر بالا هیچ عامل اول مشارک با

$l$

نداشته باشه و این هم وقتی که s به اندازه کافی بزرگ باشه بدیهیه چون

$d^a\mid \mid l$

( d یک عامل اول دلخواهه)اون وقت:

$d^b\mid \mid l^s-m \Rightarrow \Rightarrow d^b\mid \mid m , 1\leq m\leq k$

Dadgarnia · 1393/10/20

پاسخ : ماراتن نظریه اعداد (سطح مقدماتی)

سوال بعد:
اگر

$p$

عددی اول باشد همه ی اعداد صحیح مثبت

$n$

را بیابید که برای هر

$x$

صحیح اگر

$p|x^n-1$

آنگاه

$p^2|x^n-1$

.

m-saghaei · 1393/10/20

پاسخ : ماراتن نظریه اعداد (سطح مقدماتی)

Dadgarnia گفت

اگه بخواد

$p|x^n-1$

پس

$x^n\equiv 1(mod p)$

و از طرفی طبق فرما میدونیم

$x^n\equiv x(mod p)$

پس

$x\equiv1(mod p)$

بعدم اینکه داریم:

$x^n-1=(x-1)(x^n^-^1+x^n^-^2+...+x+1)$

و چون

$x-1\equiv 0(mod p)$

و

$x^n^-^1+x^n^-^2+...+x+1\equiv x(mod p)$

پس اگه بخواد

$x^n-1\equiv 0(modp^2)$

باید داشته باشیم

$p|n$

پس در کل تمامی اعدادی که

$p|n$

به ازای هر

$x$

دلخواه.

Dadgarnia · 1393/10/20

پاسخ : ماراتن نظریه اعداد (سطح مقدماتی)

m-saghaei گفت

اون اول اشتباه كردين اگه

$n=p$

باشه اين رابطه درسته!

m-saghaei · 1393/10/20

پاسخ : ماراتن نظریه اعداد (سطح مقدماتی)

Dadgarnia گفت

اوه اوه اوه !
بله.ممنون!

AHZolfaghari · 1393/10/20

پاسخ : ماراتن نظریه اعداد (سطح مقدماتی)

اول x رو میدیم p+1 و نتیجه میگیریم که n بر p بخش پذیره .
n=pt
.
حالا اگه x به پیمانه p یک باشه هیچ شرطی برای N لازم نیست پس میگیریم x به پیمانه p نباشه یک .
پس

$(x^t)^p \equiv 1 (mod p)$

حالا کلا اگه عدد برای عدد s داشته باشیم

$p \vert s^p - 1$

اونوقت مرتبش یا یک میشه یا خود p . اگه یک باشه یعنی s به فرم pl + 1 هست .
اگرم p باشه که اصلا تناقض داره !!!
پس در این جا هم

$x^t \equiv 1 (mod p)$

با لم دو خط هم میشه نتیجه گرفت که x^pt - 1 بیشتر مساوی دو عامل دو داره . پس درسته پس N=kp . آیا جواب من درسته ؟

---- دو نوشته به هم متصل شده است ----

اول x رو میدیم p+1 و نتیجه میگیریم که n بر p بخش پذیره .
n=pt
.
حالا اگه x به پیمانه p یک باشه هیچ شرطی برای N لازم نیست پس میگیریم x به پیمانه p نباشه یک .
پس

$(x^t)^p \equiv 1 (mod p)$

حالا کلا اگه عدد برای عدد s داشته باشیم

$p \vert s^p - 1$

اونوقت مرتبش یا یک میشه یا خود p . اگه یک باشه یعنی s به فرم pl + 1 هست .
اگرم p باشه که اصلا تناقض داره !!!
پس در این جا هم

$x^t \equiv 1 (mod p)$

با لم دو خط هم میشه نتیجه گرفت که x^pt - 1 بیشتر مساوی دو عامل دو داره . پس درسته پس N=kp . آیا جواب من درسته ؟

Dadgarnia · 1393/10/20

پاسخ : ماراتن نظریه اعداد (سطح مقدماتی)

AHZolfaghari گفت

اول x رو میدیم p+1 و نتیجه میگیریم که n بر p بخش پذیره .
n=pt
.
حالا اگه x به پیمانه p یک باشه هیچ شرطی برای N لازم نیست پس میگیریم x به پیمانه p نباشه یک .
پس

$(x^t)^p \equiv 1 (mod p)$

حالا کلا اگه عدد برای عدد s داشته باشیم

$p \vert s^p - 1$

اونوقت مرتبش یا یک میشه یا خود p . اگه یک باشه یعنی s به فرم pl + 1 هست .
اگرم p باشه که اصلا تناقض داره !!!
پس در این جا هم

$x^t \equiv 1 (mod p)$

با لم دو خط هم میشه نتیجه گرفت که x^pt - 1 بیشتر مساوی دو عامل دو داره . پس درسته پس N=kp . آیا جواب من درسته ؟

---- دو نوشته به هم متصل شده است ----

اول x رو میدیم p+1 و نتیجه میگیریم که n بر p بخش پذیره .
n=pt
.
حالا اگه x به پیمانه p یک باشه هیچ شرطی برای N لازم نیست پس میگیریم x به پیمانه p نباشه یک .
پس

$(x^t)^p \equiv 1 (mod p)$

حالا کلا اگه عدد برای عدد s داشته باشیم

$p \vert s^p - 1$

اونوقت مرتبش یا یک میشه یا خود p . اگه یک باشه یعنی s به فرم pl + 1 هست .
اگرم p باشه که اصلا تناقض داره !!!
پس در این جا هم

$x^t \equiv 1 (mod p)$

با لم دو خط هم میشه نتیجه گرفت که x^pt - 1 بیشتر مساوی دو عامل دو داره . پس درسته پس N=kp . آیا جواب من درسته ؟

فقط اون آخرش رو بايد توضيح بيشتري بدين! يعني اونجايي كه براي

$x^{pt}-1$

ثابت مي كنيد حداقل دو عامل p داره.

AHZolfaghari · 1393/10/20

پاسخ : ماراتن نظریه اعداد (سطح مقدماتی)

Dadgarnia گفت

خب این لم دو خط :

$\left \| a^n - b^n \right \|_{p}=\left \| a-b \right \|_{p}+\left \| n \right \|_{p}$

که شرطش اینه که

$p \vert a-b , (a,b)=1$

حالا a رو میگیریم x^t و n رو میگیریم p و b=1
پس

$\left \| x^n - 1 \right \|_{p}=\left \| x^t-1 \right \|_{p}+\left \| p \right \|_{p}\geq 2$

Dadgarnia · 1393/10/20

پاسخ : ماراتن نظریه اعداد (سطح مقدماتی)

AHZolfaghari گفت

آهان درسته من فكر مي كردم a رو گرفتين x كه اينجوري غلط ميشه! لطفا سوال بعد رو هم بذاريد.

AHZolfaghari · 1393/10/20

پاسخ : ماراتن نظریه اعداد (سطح مقدماتی)

سوال بعد
تمامی اعداد اول p,q را بیابید که برای هر عدد طبیعی مانند a داشته باشیم .

$a^{3pq}\equiv a ( mod 3pq)$

ماراتن نظریه اعداد (سطح مقدماتی)

New Member

New Member

New Member

New Member

New Member

New Member

New Member

New Member

New Member

New Member

Active Member

New Member

New Member

New Member

New Member

Well-Known Member

New Member

Well-Known Member

New Member

Well-Known Member