ماراتن نامساوي

zz_torna2 · 1391/12/9

پاسخ : ماراتن نامساوي

س1:

$\sum a=x\Rightarrow \sum a+\sum \frac{1}{a}\geq x+\frac{9}{x}$

داریم:

$x+\frac{9}{x}\geq \frac{15}{2}\Leftrightarrow 2x^{2}-15x+18\geq 0\: \: \: and\: \: x\leq \frac{3}{2}$

حالا از روش دلتا گیری اثبات تمام میشه.(البته مشتق هم میشد گرفت)

س2:
راه اول:ینسن
راه دوم:نامساوی توانی

برای سوال قبلی:

از تابع logx استفاده و ینسن بزنید و از اتحاد:

$logab=loga+logb$

:3:

MBGO · 1391/12/9

پاسخ : ماراتن نامساوي

عالی بود،

$a,b,c\in \mathbb{R}^{+},abc=1\overset{?}{\rightarrow}\sum_{cyc}\frac{1}{a^{2}-a+1}\leqslant 3$

شما هم سوال بذارید

zz_torna2 · 1391/12/12

پاسخ : ماراتن نامساوي

من کسر ها رو از بین بردم و به این رسیدم:

$2\sum a^{2}b^{2}+\sum a^{2}+2\sum a\geq 2\sum a^{2}b+\sum ab$

کمکی میکنه؟
(اگه نه راهنمایی کنید!)

Aref · 1392/3/16

پاسخ : ماراتن نامساوي

$\mathbb R^{\neq -}$

اعداد نامنفی ه؟ :13: این نماد اختراع خودتونه؟
اون نابرابری که ثابت کردید درسته، ولی خب چه ربطی به مساله ی ما داره؟
تازه حکم نوشته شده اینه که ثابت کنید:

$\sum{\frac{1}{a^2-a+1}}\le 3$

Aria Keshtkar · 1392/7/7

پاسخ : ماراتن نامساوي

$x,y,z,a,b,c\in \mathbb{R}^{+},abc=1$

در حالت کلَی داریم:

$\sum \frac{x^{4}}{x^{4}+x^{2}yz+y^{2}z^{2}}\geq\frac{\left ( \sum x^{2} \right )^{2}}{\sum x^{4}+\sum x^{2}yz+\sum y^{2}z^{2}}\geq \frac{\left ( \sum x^{2} \right )^{2}}{\sum x^{4}+2\sum y^{2}z^{2}}=\frac{\left ( \sum x^{2} \right )^{2}}{\left (\sum x^{2} \right )^{2}}=1$

که در نابرابری نخست از نابرابری کوشی شوارتز و نابرابری زیر که این هم در واقع همان کوشی شوارتز هست ، استفاده شده است.

$\sum x^{2}y^{2}\geq \sum x^{3}y\Leftrightarrow \sum \left ( xy-yz \right )^{2}\geq 0$

حال تغییر متغیَر زیر را انجام داده و داریم :

$abc=1\rightarrow a=\frac{yz}{x^{2}},b=\frac{zx}{y^{2}},c=\frac{xy}{z^{2}}$

$\sum \frac{1}{a^{2}+a+1}=\sum \frac{1}{\left (\frac{yz}{x^{2}} \right )^{2}+\frac{yz}{x^{2}}+1}=\sum \frac{x^{4}}{x^{4}+x^{2}yz+y^{2}z^{2}}\geq 1$

هم چنین با تغییر متغیَر زیر داریم :

$\sum \frac{1}{a^{2}+a+1}\geq 1\Left, \left ( a,b,c \right )\rightarrow \left ( \frac{1}{a^{2}},\frac{1}{b^{2}},\frac{1}{c^{2}} \right )\Leftrightarrow \sum \frac{a^{4}}{a^{4}+a^{2}+1}\geq 1$

حال به حلَ مسئله ی اصلی می پردازیم :

$\sum \frac{1}{a^{2}-a+1}+\sum \frac{1}{a^{2}+a+1}=2\sum \frac{a^{2}+1}{a^{4}+a^{2}+1}$

پس برای حلَ مسئله باید نشان دهیم :

$2\sum \frac{a^{2}+1}{a^{4}+a^{2}+1}\leq 4\Leftrightarrow \sum \frac{a^{2}+1}{a^{4}+a^{2}+1}\leq 2$

نتیجه ی فوق صحیح است چون داریم :

$\sum \frac{1}{a^{2}+a+1}\geq1$

که به وضوح داریم :

$\sum \frac{a^{2}+1}{a^{4}+a^{2}+1}+\sum \frac{a^{4}}{a^{4}+a^{2}+1}=3,\sum \frac{a^{4}}{a^{4}+a^{2}+1}\geq 1\rightarrow \sum \frac{a^{2}+1}{a^{4}+a^{2}+1}\leq 2\rightarrow \sum \frac{1}{a^{2}-a+1}\leq 3$

mehrdad1st · 1392/7/7

پاسخ : ماراتن نامساوي

میشه سوال بعدی رو خودتون بذارید!!

Aria Keshtkar · 1392/7/7

پاسخ : ماراتن نامساوي

حتماً امَا ببخشید اگه آسون هستند.

$a,b,c\in \mathbb{R}^{+}$

${\color{Red} 1)}\frac{a^{9}}{bc}+\frac{b^{9}}{ca}+\frac{c^{9}}{ab}+\frac{3}{abc}\geq a^{4}+b^{4}+c^{4}+3$

${\color{Red} 2)}4\left ( a+b+c \right )^{3}> 27\left ( a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a \right )$

HNahari · 1392/7/20

پاسخ : ماراتن نامساوي

Aria Keshtkar گفت

${\color{Red} 1)}\frac{a^{9}}{bc}+\frac{a^{9}}{bc}+\frac{a^{9}}{bc}+\frac{a^{9}}{bc}+\frac{a^{9}}{bc}+\frac{a^{9}}{bc}+b^{4}+b^{4}+c^{4}+c^{4}+\frac{1}{abc}+\frac{1}{abc}+1\geq 13a^{4}\\ ~~~~~~~~,\frac{b^{9}}{ca}+\frac{b^{9}}{ca}+\frac{b^{9}}{ca}+\frac{b^{9}}{ca}+\frac{b^{9}}{ca}+\frac{b^{9}}{ca}+c^{4}+c^{4}+a^{4}+a^{4}+\frac{1}{abc}+\frac{1}{abc}+1\geq 13b^{4}\\ ~~~~~~~~,\frac{c^{9}}{ab}+\frac{c^{9}}{ab}+\frac{c^{9}}{ab}+\frac{c^{9}}{ab}+\frac{c^{9}}{ab}+\frac{c^{9}}{ab}+a^{4}+a^{4}+b^{4}+b^{4}+\frac{1}{abc}+\frac{1}{abc}+1\geq 13c^{4}\\ ~~~~~~~~ ,\frac{3}{abc}+\frac{3}{abc}+\frac{3}{abc}+\frac{3}{abc}+3a^{4}+3b^{4}+3c^{4}\geq 21\\ \Leftrightarrow 6(\frac{a^{9}}{ba}+\frac{b^{9}}{ca}+\frac{c^{9}}{ab})+7(a^{4}+b^{4}+c^{4})+\frac{18}{abc}+3\geq 13(a^{4}+b^{4}+c^{4})+21\\ \Leftrightarrow 6(\frac{a^{9}}{ba}+\frac{b^{9}}{ca}+\frac{c^{9}}{ab})+\frac{18}{abc}\geq 6(a^{4}+b^{4}+c^{4})+18\\ \Leftrightarrow \frac{a^{9}}{ba}+\frac{b^{9}}{ca}+\frac{c^{9}}{ab}+\frac{3}{abc}\geq a^{4}+b^{4}+c^{4}+3$

AHZolfaghari · 1393/1/4

پاسخ : ماراتن نامساوي

اعداد a,b,c دلخواه هستند و x,y,z نیز چنین رابطه ای با a,b,c دارند:

$x = \sqrt{b^2+c^2-bc}$

$y = \sqrt{a^2+c^2-ca}$

$z=\sqrt{a^2+b^2-ab}$

حالا اثبات کنید :

$\sum xy \geqslant \sum a^2$

توجه کنید که a,b,c الزاما مثبت نیستند

AHZolfaghari · 1393/1/6

پاسخ : ماراتن نامساوي

حلشو بذارم ؟؟؟؟؟؟چقدر فعالیت کم شده !!!

mahdi math · 1393/1/7

پاسخ : ماراتن نامساوي

AHZolfaghari گفت

میشه بگید منظور از زیگما پشت ایکس و وای چیه؟:13:

AHZolfaghari · 1393/1/7

پاسخ : ماراتن نامساوي

mahdisamimi گفت

$\sum xy = xy + yz + xz$

AHZolfaghari · 1393/1/10

پاسخ : ماراتن نامساوي

خب یه راهنمایی میذارم برای این سوال . انصافا هم آسون نیست . برای xy هر کدوم از x و y رو بصورت مجموع دو عبارت بنویسید که توش مربع کامل باشه تا وقتی تو هم ضرب میشن بشه از نامساوی کوشی استفاده کرد.

a$hk@n · 1393/1/10

پاسخ : ماراتن نامساوي

سلام من سوالو الان دیدم حقیقتا زیاد روش فکر نکردم ولی چیزی که به ذهنم اومد رو مینویسم

---- دو نوشته به هم متصل شده است ----

ashkant گفت

بعد ثابت کنیم کنیم کمتر مساوی سیکما آ به توان 2 هست البت شاید کارمون سختر شده باشد نمیدانم!!!

AHZolfaghari · 1393/1/10

پاسخ : ماراتن نامساوي

ashkant گفت

یه چیزی رو میگم من . نگاه کنید ! اون کوشی که شما زدید برای تمامی x,y,z ها صادق هستش اما اینجا x,y,z ما خاص هستند !! نه این که کوشیتون غلطه ها . نه ! منظورم اینه که ما باید از این خاص بودن سه عددمون استفاده لازمه رو ببریم . ثانیا نتیجه کوشی شما زیر رادیکال بردن x,y,z هستش . حالا اگه دقت کنید در هر کدوم a,b,c زیر رادیکال هستند . حالا یه رادیکال هم بیاد روش میشه فرجه 4 که هم بد ریخت میشه و هم کارمون رو بسیار سخت میکنه :3:

Dadgarnia · 1393/4/24

پاسخ : ماراتن نامساوي

AHZolfaghari گفت

$\left.\begin{matrix} x=\sqrt{\frac{3}{4}c^2+(b-\frac{1}{2}c)^2}\\ y=\sqrt{\frac{3}{4}c^2+(a-\frac{1}{2}c)^2} \end{matrix}\right\} \Rightarrow xy=\sqrt{(\frac{3}{4}c^2+(b-\frac{1}{2}c)^2)(\frac{3}{4}c^2+(a-\frac{1}{2}c)^2)}\geq \sqrt{(\frac{3}{4}c^2+(a-\frac{1}{2}c)(b-\frac{1}{2}c))^2}=c^2+ab-\frac{1}{2}(bc+ca)\Rightarrow \sum xy\geq \sum a^2$

m-saghaei · 1393/6/12

پاسخ : ماراتن نامساوي

سلام
1- m و n دو عدد طبیعین که اختلافشون بیشتر از یکه. و m+n|4mn+1 ثابت کنید ب.م.م 2n-1 و 2m+1 برابر با یکه.
.
.
.
ببخشید حواسم نبود گذاشتم تو نامساوی! پوزش میطلبم!

m-saghaei · 1393/6/24

پاسخ : ماراتن نامساوي

یه سوال داشتم:
اگر

$x,y,z\geq 0$

و

$x+y+z=1$

نشان دهید:

$x^3+y^3+z^3+6xyz\geq \frac{1}{4}$

Dadgarnia · 1393/6/24

پاسخ : ماراتن نامساوي

m-saghaei گفت

حكمي قوي تر رو اثبات مي كنيم:

$\sum x^3+\frac{15}{4}xyz\geq \frac{1}{4}\Leftrightarrow 4\sum x^3+15xyz\geq (x+y+z)^3=\sum x^3+3\sum (x^2y+xy^2)+6xyz\Leftrightarrow \sum x^3+3xyz-\sum (x^2y+xy^2)\geq 0\Leftrightarrow \sum x(x-y)(x-z)\geq 0$

كه همان نامساوي شور به ازاي

$\lambda =1$

است.

m-saghaei · 1393/6/25

پاسخ : ماراتن نامساوي

اینم یه سوال قشنگ:

$a,b,c\geq 0$

,

$a^2+b^2+c^2=3$

ثابت کنید:

$\sqrt[3]{a^2+bc}+\sqrt[3]{b^2+ca}+\sqrt[3]{c^2+ab}\leq 3\sqrt[3]{2}$

ماراتن نامساوي

آيا شما مايل به راه افتادن تاپيك ماراتن نامساوي مي باشي

بله

خير

New Member

New Member

New Member

New Member

New Member

New Member

New Member

New Member

Well-Known Member

Well-Known Member

New Member

Well-Known Member

Well-Known Member

New Member

Well-Known Member

New Member

New Member

New Member

New Member

New Member