ماراتن نامساوي

M_Sharifi · 1389/3/27

behrooz1373 گفت

فرض کنید

$r=\frac ab,~s=\frac cd$

. در این صورت باید ثابت کنیم

[center:8a0b16f907]

$\max\{1,|r+s|,|rs|\}\geq\frac{\sqrt5-1}2\max\{1,|r|\}\cdot\max\{1,|s|\}$

حالا

$|r|,|s|$

رو حالت بندی کنید.

[/center:8a0b16f907]

mousavi · 1389/6/17

[center:49ce38ddda]

$\300dpi \huge 14$

[/center:49ce38ddda]

فرض کنید

$a,b,c> 0$

.ثابت کنید

[center:49ce38ddda]

$\sum \frac{a^3}{a^3+b^3+abc}\geq 1$

[/center:49ce38ddda]

M_Sharifi · 1389/6/17

mousavi گفت

با فرض

$a^3=x,b^3=y,c^3=z$

نابرابی با فرض

$xyz=1$

به صورت

[center:74b4a9fd9d]

$\sum\frac x{x+y+1}\geq1$

[/center:74b4a9fd9d]

در می آید. فرض می کنیم

$x=\frac ab,~y=\frac ca,~z=\frac bc$

. در این صورت طبق نابرابری کوشی-شوارتز،

[center:74b4a9fd9d]

$\sum\frac x{x+y+1}=\sum\frac{a^2}{a^2+bc+ab}\geq\frac{(\sum a)^2}{\sum(a^2+bc+ab)}=1$

[/center:74b4a9fd9d]

M_Sharifi · 1389/6/17

[center:023d3cfd2a]

$\300dpi \huge 14$

[/center:023d3cfd2a]

فرض کنید

$a,b,c$

اعدادی مثبت اند که

$ab+bc+ca=1$

. ثابت کنید

[center:023d3cfd2a]

$\frac{1-a^2}{1+a^2}+\frac{1-b^2}{1+b^2}+\frac{1-c^2}{1+c^2}\leq\frac32$

[/center:023d3cfd2a]

mousavi · 1389/6/17

$\sum \frac{1-a^2}{1+a^2}\leq \frac{3}{2}$

$\Rightarrow \sum \frac{1}{1+a^2}\leq \frac{9}{4}$

$\Rightarrow \frac{a^2}{1+a^2}\geq \frac{3}{4}$

بعدشم یه کوشی ساده

mrbayat · 1389/6/17

[center:e79aa8ffa7]

$\300dpi \huge 15$

$a,b,c,d> 0,a+b+c+d=4$

ثابت کنید:

$\frac{a}{1+b^{2}c}+\frac{b}{1+c^{2}d}+\frac{c}{1+d^{2}a}+\frac{d}{1+a^{2}b}\geq 2$

[/center:e79aa8ffa7]

mousavi · 1389/6/18

$(\sum a+\sum ab^2c)\times (\sum \frac{a}{1+b^2c})$

$\geq (\sum a)^2=16$

باید ثابت کنیم:

$\sum ab^2c\leq 4$

$\sum ab^2c=(ab+cd)(bc+ad)\leq (\sum ab)^2/4=((a+c)(b+d))^2/4$

$\leq (\sum a)^4/4^3=4$

M_Sharifi · 1389/6/20

[center:e327141157]

$\300dpi \huge 16$

[/center:e327141157]

فرض کنید

$n\geq2$

و

[center:e327141157]

$f(x_1,x_2,\ldots,x_n)=\frac{x_1}{1+x_2\cdots x_n}+\cdots+\frac{x_n}{1+x_1\cdots x_{n-1}}+x_1x_2\cdots x_n$

[/center:e327141157]

بیش ترین مقدار

$f$

را روی مجموعه ی

$\{(x_1,x_2,\ldots,x_n)\mid 0\leq x_i\leq 1,~i=1,2,\ldots,n\}$

به دست آورید.

shoki · 1389/7/27

راه حلام برای بعضی از مسائل :
8: uvw
9: کوشی + uvw

$\sum_{cyc} (\frac{a}{a+b})^2 \ge \frac{3}{4}$

: کوشی +vasc
12 : بسط + uvw
13: بسط + تغییر متغیر + uvw (یا AM-GM )
14: بسط + uvw
هر کدومشون هم توضیح میدم اگر کسی بخواد

حالا برای سوال آخر هم دوبار مشتق می گیریم بر حسب هر متغیر ... مثبته یعنی محدبه و قضیه حله ...

shoki · 1389/7/27

[center:9983a32d9e][HIGHLIGHT=#000000]17[/HIGHLIGHT][/center:9983a32d9e]یکی از تمرینای دوره که بهمون دادند :
[center:9983a32d9e]

$x+y+z+ \frac{1}{xyz} \ge \frac{4\sqrt{3}}{9}(x+y+z)(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})$

با شرط های

$x,y,z >0 \ , \ x^2+y^2+z^2=1$

[/center:9983a32d9e]

mahanmath · 1389/7/28

shoki گفت

pqr (Three Variables) method

shoki · 1389/7/28

به قول اصفهانیا خُبس !
سوال بذار حالا

mahanmath · 1389/7/28

[center:c3d84571ec] [/center:c3d84571ec][center:c3d84571ec] [/center:c3d84571ec]
[center:c3d84571ec][HIGHLIGHT=#000000]18[/HIGHLIGHT][/center:c3d84571ec]
[center:c3d84571ec] [/center:c3d84571ec]
[center:c3d84571ec] [/center:c3d84571ec]
[center:c3d84571ec]Prove that in every triangle the following inequality holds :[/center:c3d84571ec]
[center:c3d84571ec] [/center:c3d84571ec]
[center:c3d84571ec]

$\frac{a^2 b}{c} + \frac{b^2 c}{a} + \frac{c^2 a}{b} \geq a^2 + b^2 + c^2$

[/center:c3d84571ec]

M_Sharifi · 1389/7/28

shoki گفت

با تغییر متغیر

$x=\frac a{\sqrt3},\ldots$

با فرض

$\sum a^2=3$

باید ثابت کنیم

[center:585a4f0cc6]

$\sum a+\frac9{abc}\geq\frac43\left(\sum a\right)\left(\sum\frac1a \right )$

داریم

$\sum a+\frac9{abc}=\frac{abc\sum a+(\sum a^2)^2}{abc}\geq\frac{\sum a^3b+\sum ab^3+2\sum a^2b^2}{abc}\\ ~~~~~~~~~~~~~\geq\frac{\sum a^3b+\sum ab^3+abc\sum a+\sum a^2b^2}{abc}\geq\frac{(\sum a^2)(\sum ab)+\frac13(\sum ab)^2}{abc}\\ ~~~~~~~~~~~~=\frac13\cdot\frac{(\sum ab)(3\sum a^2+\sum ab)}{abc}=\frac13\left(\sum \frac1a \right )\left(\frac12\left(\sum a\right)^2+\frac{15}2\right)\\ ~~~~~~~~~~~~\geq\frac43\left(\sum \frac1a \right )\left(\sum a\right)$

[/center:585a4f0cc6]

M_Sharifi · 1389/7/28

mmath گفت

داریم
[center:137cc47ff5]

$\sum\frac{a^2b}c-\sum a^2=\sum(a-b)^2\left(\frac ca-\frac12 \right )$

اگر

$b$

ضلع میانی مثلث باشد،

$S_b=\frac bc-\frac12>\frac{(b+\min\{a,c\})-c}{2c}>0$

ضمن این که

$S_b+S_c=\frac bc+\frac ca-1\geq\frac{b+c}{\max\{a,c\}}-1>0$

به همین ترتیب

$S_b+S_a>0$

و مسئله حل می شود.

[/center:137cc47ff5]

M_Sharifi · 1389/7/28

[center:0095f83835]

$\300dpi \huge 19$

برای اعداد حقیقی و نامنفی

$a,b,c$

ثابت کنید

$\frac1{\sqrt{a^2+bc}}+\frac1{\sqrt{b^2+ca}}+\frac1{\sqrt{c^2+ab}}\geq\frac{2\sqrt2}{\sqrt{ab+bc+ca}}$

[/center:0095f83835]

shoki · 1389/7/29

18 : تغییر متغیر (a=x+y , ... ) بسطش می دیم و به دست می یاد :

$\sum x^5+\sum_{cyc} y^4x \ge 2 \sum_{cyc} x^3y^2$

که حسابی هندسیه

.
19 : بعدا روش فکر می کنم

.

shoki · 1389/7/30

eh ... ببخشید آقای شریفی می خواستم بدونم صورت سوال رو درست نوشتید یا نه ؟؟

می شه یه بار چکش کنید

... ممنون می شم

M_Sharifi · 1389/7/30

shoki گفت

صورت سوال درسته.

M_Sharifi · 1389/8/7

راهنمایی برای سوال 19: اول روی دو تا از کسرها نابرابری به کار ببرید.

[center:2b80b4a96b]

$\300dpi \huge 20$

برای اعداد حقیقی و نامنفی

$a,b,c$

که هیچ دوتایی همزمان صفر نیستند، ثابت کنید

$\sqrt{1+\frac{48a}{b+c}}+\sqrt{1+\frac{48b}{c+a}}+\sqrt{1+\frac{48c}{a+b}}\geq15$

[/center:2b80b4a96b]

ماراتن نامساوي

آيا شما مايل به راه افتادن تاپيك ماراتن نامساوي مي باشي

بله

خير

راهبر ریاضی

New Member

راهبر ریاضی

راهبر ریاضی

New Member

New Member

New Member

راهبر ریاضی

New Member

New Member

New Member

New Member

New Member

راهبر ریاضی

راهبر ریاضی

راهبر ریاضی

New Member

New Member

راهبر ریاضی

راهبر ریاضی