ماراتن نظریه ی اعداد (سطح پیشرفته)

TheOverlord · 1393/7/17

پاسخ : ماراتن نظریه ی اعداد (سطح پیشرفته)

$\lim_{n\rightarrow \infty }\frac{f(p_{n})}{g(p_{n})}-\frac{f(p_{n}-1)}{g(p_{n}-1)}=0$

درست است؟ برای مثال اگر یک چندجمله ای را در نظر بگیرید این حد غلط میشود! در حقیقت نسبت این دو به یک میل میکند ولی اختلافشان ممکن است به بینهایت میل کند.

aras2213 · 1393/7/17

پاسخ : ماراتن نظریه ی اعداد (سطح پیشرفته)

TheOverlord گفت

اگه ثابت کنیم درجشون برابره درست میشه؟

فکر کنم این جوری بشه گفت که درجشون برابره.

$\pi (n)\leqslant \frac{n-1}{ln(n)}\times 4ln(2)\rightarrow \frac{f(n)}{g(n)}\times ln(n)\leq c\times n$

که c یه عدد ثابته.حالا اگه درجشون برابر نباشه...................................................................................................فکر کنم تناقض بشه:4:

TheOverlord · 1393/7/17

پاسخ : ماراتن نظریه ی اعداد (سطح پیشرفته)

aras2213 گفت

در حقیقت اگر ثابت کنیم درجه صورت از مخرج نابیشتر است درست میشود و نامساوی شما هم همین نتیجه را میدهد، اگر از حد استفاده کنید!

aras2213 · 1393/7/19

پاسخ : ماراتن نظریه ی اعداد (سطح پیشرفته)

سوال بعد:دنباله

$\begin{Bmatrix} x_{n} \end{Bmatrix}_{n=1}^\infty$

این گونه تعریف شده است:

$\left\{\begin{matrix} x_{1}=1\\x_{2}=3 \\ x_{n}=6x_{n-1}-x_{n-2}(n\geq 3) \end{matrix}\right.$

نشان دهید برای هر n طبیعی ،

$x_{n}+(-1)^n$

مربع کامل است.

Dadgarnia · 1393/7/21

پاسخ : ماراتن نظریه ی اعداد (سطح پیشرفته)

aras2213 گفت

به راحتي مي توانيم بدست بياوريم

$x_n=\frac{3-2\sqrt{2}}{2}(3+2\sqrt{2})^n+\frac{3+2\sqrt{2}}{2}(3-2\sqrt{2})^n$

حالا دنباله ي

$\left \{ y_n \right \}^\infty_{n=1}$

را به شكل زير تعريف مي كنيم:

$\left\{\begin{matrix} y_1=0\\ y_2=2\\ y_n=2y_{n-1}+y_{n-2} \ \forall n\geq 3 \end{matrix}\right.$

به طور مشابه مي توانيم بدست بياوريم

$y_n=\frac{2-\sqrt{2}}{2}(1+\sqrt{2})^n+\frac{2+\sqrt{2}}{2}(1-\sqrt{2})^n$

داريم:

$y_n^2=x_n+(-1)^n$

و حكم ثابت مي شود.

aras2213 · 1393/7/21

پاسخ : ماراتن نظریه ی اعداد (سطح پیشرفته)

چون آقای Dadgarnia سوال نداشتن سوال بعد رو هم به درخواست ایشون من میذارم:

سوال بعد:همه اعداد طبیعی n را بیابید که

$n^7+7$

مربع کامل شود.

AHZolfaghari · 1393/7/21

پاسخ : ماراتن نظریه ی اعداد (سطح پیشرفته)

aras2213 گفت

دو طرف رو با 121 جمع میکنیم و از این که اگه p عدد 4k+3 باشه و جمع دو تا مربع کامل رو عاد کنه اونوقت هرکدومشون رو عاد میکنه استفاده میکنیم . و به تناقض می رسیم

---- دو نوشته به هم متصل شده است ----

سوال بعد :
تمام m,n های طبیعی را بیابید بطوریکه :

$mn-1 \vert n^3 + 1$

m-saghaei · 1393/7/21

پاسخ : ماراتن نظریه ی اعداد (سطح پیشرفته)

AHZolfaghari گفت

جوابهاش اینا میشه؟اگه میشه تا راهمو بزارم!
(1,2),(2,1),(1,3),(3,1),(2,2),(2,5),(5,2),(3,5),(5,3)

---- دو نوشته به هم متصل شده است ----

دیگه میزاریم هرچه باد آباد!!!!!!!!!
داریم

$mn-1|n^3+1+mn-1$

پس

$mn-1|n(n^2+m)$

و چون

$(mn-1,n)=1$

تیجه میشه

$mn-1|n^2+m$

و همینطور اینا رو میتونیم بدست بیاریم:

$mn-1|m^2+n$

و

$mn-1|m^3+1$

و ...
همینطور چون

$mn-1|m^2+n$

پس

$mn-1\leq m^2+n$

که نتیجه میشه

$n(m-1)\leq m^2+1$

پس اگه m مساوی 1 نباشه داریم

$n\leq m+1+\frac{2}{m-1}$

که نتیجه میشه اگه m بزرگتر از 3 باشه اونوقت داریم

$m\leq n\leq m+1$

پس :
اگه m=1 اونوقت n=2,3
اگه m=2 اونوقت n=2,5
اگه m=3 اونوقت n=5
اگه m>3 اونوقت باید n=m و n=m+1 رو بررسی کنیم.
که در کل تمامی جواب ها میشن: (1,2),(2,1),(1,3),(3,1),(2,2),(2,5),(5,2),(3,5),(5,3)

AHZolfaghari · 1393/7/21

پاسخ : ماراتن نظریه ی اعداد (سطح پیشرفته)

m-saghaei گفت

جوابهاش اینا میشه؟اگه میشه تا راهمو بزارم!
(1,2),(2,1),(1,3),(3,1),(2,2),(2,5),(5,2),(3,5),(5,3)

---- دو نوشته به هم متصل شده است ----

دیگه میزاریم هرچه باد آباد!!!!!!!!!
داریم

$mn-1|n^3+1+mn-1$

پس

$mn-1|n(n^2+m)$

و چون

$(mn-1,n)=1$

تیجه میشه

$mn-1|n^2+m$

و همینطور اینا رو میتونیم بدست بیاریم:

$mn-1|m^2+n$

و

$mn-1|m^3+1$

و ...
همینطور چون

$mn-1|m^2+n$

پس

$mn-1\leq m^2+n$

که نتیجه میشه

$n(m-1)\leq m^2+1$

پس اگه m مساوی 1 نباشه داریم

$n\leq m+1+\frac{2}{m-1}$

که نتیجه میشه اگه m بزرگتر از 3 باشه اونوقت داریم

$m\leq n\leq m+1$

پس :
اگه m=1 اونوقت n=2,3
اگه m=2 اونوقت n=2,5
اگه m=3 اونوقت n=5
اگه m>3 اونوقت باید n=m و n=m+1 رو بررسی کنیم.
که در کل تمامی جواب ها میشن: (1,2),(2,1),(1,3),(3,1),(2,2),(2,5),(5,2),(3,5),(5,3)

بله درسته جواب ها همین ها بودند که فرمودید ! سوال 4 المپیاد جهانی 1994 بود !سوال بعدی رو لطف کنید شما بذارید

m-saghaei · 1393/7/21

پاسخ : ماراتن نظریه ی اعداد (سطح پیشرفته)

سوال بعد:
همه ی زوج ها از عددهای طبیعی مانند (a,b) را طوری پیدا کنید که

$2ab^2-b^2+1|a^2$

Dadgarnia · 1393/7/21

پاسخ : ماراتن نظریه ی اعداد (سطح پیشرفته)

m-saghaei گفت

داريم:

$2ab^2-b^2+1|2a^2b^2-ab^2+a,2ab^2-b^2+1|2a^2b^2\Rightarrow 2ab^2-b^2+1|ab^2-a\Rightarrow ab^2+a+1\leq b^2$

كه تناقضه مگر اين كه b يك باشه و a عددي زوج. سوال بعدي رو يكي از دوستان بذاره.

m-saghaei · 1393/7/21

پاسخ : ماراتن نظریه ی اعداد (سطح پیشرفته)

Dadgarnia گفت

اگه تو صورت سوال به جای

$b^2$

- ,

$b^4$

- باشه چه جوری میشه؟یعنی این طوری:

$2ab^2-b^4+1|a^2$

آخه بین

$b^2$

و

$b^4$

شک دارم!!!

AHZolfaghari · 1393/7/21

پاسخ : ماراتن نظریه ی اعداد (سطح پیشرفته)

m-saghaei گفت

b^3 هستش . سوال جهانی بوده . که بخوام خلاصه بگم باید عبارت رو برابر یه k قرار بدید . بعد یه معادله درجه دو برحسب a درست میکنیم و ازش دلتا میگیریم.
دلتا باید مربع کامل باشه . بعد دلتا رو بصورت جمع یه مربع کامل و یه عدد دیگه می نویسیم . (x^2 + a )
چون مربع کامله پس a بزرگ تر مساوی 2x+1 بعد یه نتایج خوبی میده ! حالا اگه حلش کردی خودش حلشو بذار !!!!!

math1998 · 1393/7/22

پاسخ : ماراتن نظریه ی اعداد (سطح پیشرفته)

همه ی

$n\in \mathbb{N}$

را پیدا کنید که عدد

$m\in \mathbb{Z}$

موجود باشد که

$2^n-1\mid m^2+9$

Dadgarnia · 1393/7/23

پاسخ : ماراتن نظریه ی اعداد (سطح پیشرفته)

math1998 گفت

اگه n فرد باشه با توجه به اینکه

$2^n-1$

عددی به شکل

$4k+3$

هست

$2^n-1$

حتما مقسوم علیه اولی به شکل

$4k+3$

و بزرگتر از 3 داره پس این عدد اول باید 9 رو بشماره که تناقضه. حالا اگه n به شکل

$2^\alpha k$

باشه که k عددی فرد و بزرگتر از 1 و

$\alpha$

عددی طبیعی است داریم:

$2^{2^\alpha k}-1=(2^k-1)\prod_{i=0}^{\alpha-1}(2^{2^ik}+1)$

می دونیم که

$2^k-1$

عامل اولی به شکل

$4k+3$

و بزرگتر از 3 داره پس مثل قبل می تونیم به تناقض برسیم. حالا فرض کنید n به شکل

$2^\alpha$

باشه ثابت می کنیم چنین m ای وجود داره.
واضحه که m باید بر 3 بخشپذیر باشه پس فرض کنید

$m=3l$

و p مقسوم علیه اولی (به جز 3) از

$2^{2^\alpha}-1$

باشه پس ما باید ثابت کنیم t ای وجود داره که داشته باشیم (

$\beta$

توان p در

$2^{2^\alpha}-1$

است):

$p^\beta t=l^2+1\Rightarrow p^\beta t\equiv 1(mod \ l^2)$

پس کافیه t وارون ضربی

$p^\beta$

به پیمانه ی

$l^2$

باشه که می دونیم چنین t ای وجود داره. پس چیزی که می خواستیم ثابت شد.

m-saghaei · 1393/7/25

پاسخ : ماراتن نظریه ی اعداد (سطح پیشرفته)

سوال بعدی:
اعداد صحیح

$x,y,z$

را چنان بیابید که

$19^x +7^y =z^3$

Dadgarnia · 1393/7/25

پاسخ : ماراتن نظریه ی اعداد (سطح پیشرفته)

m-saghaei گفت

اگه يكي از

$x,y$

صفر باشه به راحتي مي تونيم ببينيم كه جوابي وجود نداره در غير اين صورت اگه دو طرف رو به پيمانه ٨ در نظر بگيريم بدست مياد

$x=2x_1,y=2y_1-1$

حالا دو طرف رو به پيمانه ي ٧ در نظر مي گيريم مي دونيم:

$(-2)^{6k}\equiv 1(mod \7),(-2)^{6k+2}\equiv 4(mod \7),(-2)^{6k+4}\equiv 2(mod \7)$

و

$z^3$

به پيمانه ي ٧ براير با يك يا ١- است پس

$x_1=3x_2$

. داريم:

$7^{2y_1-1}=(z-19^{2x_2})(z^2+19^{2x_2}z+19^{4x_2})\Rightarrow z=7^i+19^{2x_2}\Rightarrow 7^{2y_1-1}=3\times 7^{2i}\times 19^{2x_2}+3\times 7^{i}\times 19^{4x_2}+7^{3i}\Rightarrow 7^{2y_1-i-1}=3\times 7^{i}\times 19^{2x_2}+3\times 19^{4x_2}+7^{2i}\Rightarrow i=0\Rightarrow 3\times 19^{4x_2}+3\times 19^{2x_2}+1=7^{2y_1-1}$

مثل قبل اگر دو طرف را به پيمانه ي ٧ در نظر بگيريم بدست مياد

$x_2=3x_3$

و اگر به پيمانه ي ١٩ در نظر بگيريم بدست مياد

$y_1=3y_2-1$

با جايگذاري اين روابط در رابطه ي بالا داريم:

$2\times 7^{4y_2-2}+2\times 7^{2y_2-1}+2=19^{12x_3}+19^{6x_3}\Rightarrow 7^{4y_2-2}+7^{2y_2-1}\equiv 0(mod \9)\Rightarrow 7^{2y_2-1}+1\equiv 0(mod \9)$

كه به راحتي مي توان چك كرد برقرار نمي باشد پس جوابي وجود نداره.

m-saghaei · 1393/7/26

پاسخ : ماراتن نظریه ی اعداد (سطح پیشرفته)

Dadgarnia گفت

اگه يكي از

$x,y$

صفر باشه به راحتي مي تونيم ببينيم كه جوابي وجود نداره در غير اين صورت اگه دو طرف رو به پيمانه ٨ در نظر بگيريم بدست مياد

$x=2x_1,y=2y_1-1$

حالا دو طرف رو به پيمانه ي ٧ در نظر مي گيريم مي دونيم:

$(-2)^{6k}\equiv 1(mod \7),(-2)^{6k+2}\equiv 4(mod \7),(-2)^{6k+4}\equiv 2(mod \7)$

و

$z^3$

به پيمانه ي ٧ براير با يك يا ١- است پس

$x_1=3x_2$

. داريم:

$7^{2y_1-1}=(z-19^{2x_2})(z^2+19^{2x_2}z+19^{4x_2})\Rightarrow z=7^i+19^{2x_2}\Rightarrow 7^{2y_1-1}=3\times 7^{2i}\times 19^{2x_2}+3\times 7^{i}\times 19^{4x_2}+7^{3i}\Rightarrow 7^{2y_1-i-1}=3\times 7^{i}\times 19^{2x_2}+3\times 19^{4x_2}+7^{2i}\Rightarrow i=0\Rightarrow 3\times 19^{4x_2}+3\times 19^{2x_2}+1=7^{2y_1-1}$

مثل قبل اگر دو طرف را به پيمانه ي ٧ در نظر بگيريم بدست مياد

$x_2=3x_3$

و اگر به پيمانه ي ١٩ در نظر بگيريم بدست مياد

$y_1=3y_2-1$

با جايگذاري اين روابط در رابطه ي بالا داريم:

$2\times 7^{4y_2-2}+2\times 7^{2y_2-1}+2=19^{12x_3}+19^{6x_3}\Rightarrow 7^{4y_2-2}+7^{2y_2-1}\equiv 0(mod \9)\Rightarrow 7^{2y_2-1}+1\equiv 0(mod \9)$

كه به راحتي مي توان چك كرد برقرار نمي باشد پس جوابي وجود نداره.

قسمت اولشو یه اشتباه کوچولو کردید چون اگه

$x=0$

اونوقت

$z=2,y=1$

جواب میشه!

Dadgarnia · 1393/7/26

پاسخ : ماراتن نظریه ی اعداد (سطح پیشرفته)

سوال بعد:
تمام اعداد طبيعي

$n$

را بيابيد به طوريكه

$\frac{(n+1)!}{\sum_{i=1}^{n}i!}$

عددي طبيعي باشد.

aras2213 · 1393/8/6

پاسخ : ماراتن نظریه ی اعداد (سطح پیشرفته)

Dadgarnia گفت

اول برای n=1,2,3 دستی چک میکنیم.پس فرض کنید n از 3 بزرگتر باشه.نشون میدیم که

$n-1< \frac{(n+1)!}{1!+2!+...+n!}< n$

.

برای سمت راست نابرابری

$\frac{(n+1)!}{1!+2!+...+n!}< n\Leftrightarrow (n+1)!< (1!+...+(n-2)!)n+(n-1)!\times n+n\times n!$

. اما

$(n-1)!\times n+n\times n!=(n+1)!$

.پس

نابرابری سمت راست درسته.

برای سمت چپ نابرابری

$n-1< \frac{(n+1)!}{1!+...+n!}\Leftrightarrow (n+1)!> (1!+...(n-3)!)(n-1)+(n-1)(n-2)!+(n-1)(n-1)!+(n-1)n!\Leftrightarrow (n+1)!>(1!+...(n-3)!)(n-1)+n\times n!$

پس کافیه که ثابت کنیم

$n!> (1!+...+(n-3)!)(n-1)\Leftrightarrow n(n-2)!> 1!+...+(n-3)!$

که این هم درسته.پس برای n های بزرگتر از 3 جواب نداریم.

---- دو نوشته به هم متصل شده است ----

سوال بعد:همه ی اعداد اول p,q را بیابید که

بر

بخش پذیر باشد.

ماراتن نظریه ی اعداد (سطح پیشرفته)

New Member

New Member

New Member

New Member

New Member

New Member

Well-Known Member

New Member

Well-Known Member

New Member

New Member

New Member

Well-Known Member

New Member

New Member

New Member

New Member

New Member

New Member

New Member