ماراتن نظریه ی اعداد (سطح پیشرفته)

darya.f · 1393/6/12

پاسخ : ماراتن نظریه ی اعداد (سطح پیشرفته)

AHZolfaghari گفت

بقىه مقادىر رو بزارىد تو معادله ,ىه سرى مقدار برا b' مىده که چکشون کنىم جواب نمىده فقط حالت a'=1 جواب مىده

REZA 73 · 1393/6/13

پاسخ : ماراتن نظریه ی اعداد (سطح پیشرفته)

ثابت کنید معادله زیر در مجموعه اعداد طبیعی بیشمار جواب دارد:

$a^{3}+b^{5}+c^{7}+d^{11}=e^{13}$

REZA 73 · 1393/6/14

پاسخ : ماراتن نظریه ی اعداد (سطح پیشرفته)

mahmoud20ni گفت

اگر

$\alpha _1$

فرد باشد خواهیم داشت :

$\left (p_1^{\alpha _1+1}-1 \right )\left ( p_2^{\alpha _2+1} -1\right )...\left ( p_k^{\alpha _k +1}-1 \right )=2p_1^{\alpha _1}p_2^{\alpha _2}...p_k^{\alpha _k}\left ( p_1-1 \right )...(p_k-1)$

که با توجه به زوج بودن 1+

$\alpha _1$

خواهیم داشت

$p^2-1\mid p^{\alpha _1+1}-1$

که با توجه به عبارت بالا میتوان نتیجه گرفت :

$p_1+1 \mid 2p_1^{\alpha _1}p_2^{\alpha _2}...p_k^{\alpha _k}$

و چون

$p_1$

کوچکترین عامل اول n میباشد پس

$p_1=2$

و

$p_2=3$

که اگر حاصل را در عبارت ابتدایی جاگزین کنیم و پس از کمی ساده کردن خواهیم داشت :

$\left ( 2^{\alpha _1+1}-1 \right )(3^{\alpha _2+1}-1)(p_3^{\alpha _3}+...+p_3+1)...(p_k^{\alpha _k}+...+p_k+1)=2^{\alpha _1+2}3^{\alpha _2}p_3^{\alpha _3}...p_k^{\alpha _k}$

که با مقایسه دو طرف این تساوی به سادگی نتیجه میشود که :

$\left ( 2^{\alpha _1+1}-1 \right )\left ( 3^{\alpha _2+1}-1 \right )\leq 2^{\alpha _1+2}3^{\alpha _2}$

که به سادگی میتوان نتیجه گرفت که این نابرابری به طوراکید جواب ندارد و تنها حالت تساوی میتوان رخ دهد که در این حالت

$\alpha _1=\alpha _2=1$

و همچنین در این حالت n نمیتواند عامل اولی غیر از 2 و3 داشته باشد و به عبارتی n=6 که با n>6 در تناقض است و فرض اولیه غلط بوده و

$\alpha _1$

عددی زوج است .

ببخشید. طبق این راه حل یعنی شما ثابت کردین همه اعداد کامل زوج هستند؟؟
خط چهارم واضح نیس .لطفا کمی بیشتر توضیح بدید اگه ممکنه.

mahmoud20ni · 1393/6/15

پاسخ : ماراتن نظریه ی اعداد (سطح پیشرفته)

خیر ثابت کرده ام اگر یک عدد کامل شرط گفته شدن در صورت سوال یعنی زوج بودن

$\alpha _1$

برایش برقرار نباشد اونوقت اون عدد کامل باید زوج باشد . (تو خط سوم راه حل نوشتم این موضوع رو واضح ) در ارتباط خط چهارم هم با توجه به این که:

$p_i-1\mid p_i^{\alpha _i+1}-1$

و تساوی نوشته شده در خط اول (با ساده کردن p_i-1 ها از عبارت سمت چپ این تساوی برای i های بزرگتر از 2 ) خواهیم داشت :

$p_1^{\alpha _1+1}-1\mid 2p_1^{\alpha _1}p_2^{\alpha _2}...p_k^{\alpha _k}\left ( p_1-1 )$

و طبق عبارت عاد کردنی که در خط 2 ام راه حل نوشته شده خواهیم داشت :

$p_1^2-1\mid 2p_1^{\alpha _1}p_2^{\alpha _2}...p_k^{\alpha _k}(p_1-1)$

که این نیز عبارت نوشته شده در خط چهارم را نتیجه میدهد .

mahmoud20ni · 1393/6/15

پاسخ : ماراتن نظریه ی اعداد (سطح پیشرفته)

خیر ثابت کرده ام اگر یک عدد کامل شرط گفته شدن در صورت سوال یعنی زوج بودن

$\alpha _1$

برایش برقرار نباشد اونوقت اون عدد کامل باید زوج باشد . (تو خط سوم راه حل نوشتم این موضوع رو واضح ) در ارتباط خط چهارم هم با توجه به این که:

$p_i-1\mid p_i^{\alpha _i+1}-1$

و تساوی نوشته شده در خط اول (با ساده کردن p_i-1 ها از عبارت سمت چپ این تساوی برای i های بزرگتر از 2 ) خواهیم داشت :

$p_1^{\alpha _1+1}-1\mid 2p_1^{\alpha _1}p_2^{\alpha _2}...p_k^{\alpha _k}\left ( p_1-1 )$

و طبق عبارت عاد کردنی که در خط 2 ام راه حل نوشته شده خواهیم داشت :

$p_1^2-1\mid 2p_1^{\alpha _1}p_2^{\alpha _2}...p_k^{\alpha _k}(p_1-1)$

که این نیز عبارت نوشته شده در خط چهارم را نتیجه میدهد .

---- دو نوشته به هم متصل شده است ----

در ارتباط با سوالی نیز که قرار داده اید a=b=c=d=2, e=4 در مسئله صدق میکند حالا با ضرب تساوی در یک عدد توان

$3\times 5\times 7\times 11\times 13$

ام کامل میتوان بی نهایت جواب طبیعی برای معادله ساخت .

REZA 73 · 1393/6/15

پاسخ : ماراتن نظریه ی اعداد (سطح پیشرفته)

mahmoud20ni گفت

بله درسته.
البته وقتی شما ثابت کردین که کوچکترین عامل اول باید 2 باشه راه ساده تری هم وجود داشت یعنی از این استفاده کنید عددی کامل و زوج است اگر و تنها اگر به صورت:

$2^{q-1}(2^q-1)$

باشد که q و

$2^q-1$

هر دو اول باشند. که دیگه حکم بدیهی میشه.

mahmoud20ni · 1393/6/15

پاسخ : ماراتن نظریه ی اعداد (سطح پیشرفته)

یعنی شما ثابت کردید که عددی به شکل

$2^{q-1}(2^q-1)$

وجود ندارد .(با توجه اول بودن q و

$2^q-1$

) ؟!!! بعد از طرفی عددی به این شکل لزومی ندارد کامل باشد ؟ میشه اگه منظورتون رو اشتباه فهمیدم بیشتر توضیح بدید .

---- دو نوشته به هم متصل شده است ----

سوال بعدی :تمام اعداد طبیعی k را بیابید که برای ان ها معادله ی زیر بی نهایت جواب a,b,c در اعداد طبیعی داشته باشد .

$\left ( a^2-k \right )\left ( b^2-k \right )=\left ( c^2-k \right )$

AHZolfaghari · 1393/6/15

پاسخ : ماراتن نظریه ی اعداد (سطح پیشرفته)

mahmoud20ni گفت

$a^2b^2 + k^2 - k(a^2 + b^2 + 1) = c^2$

اگه که :

$a^2 + b^2 - 1 = 2ab$

یعنی

$a= b+1$

پس

$ab- k = c$

که واضح هست به ازای هر k بی نهایت جواب داره . پس به ازای هر k بی نهایت جواب (a,b,c) داریم !

سوال بعد :

تمام اعداد گویا m,n,p را بیابید که :

$m + \frac{1}{np} , n+ \frac{1}{pm} , p+ \frac{1}{mn}$

صحیح شوند

darya.f · 1393/6/15

پاسخ : ماراتن نظریه ی اعداد (سطح پیشرفته)

$np|mnp+1 ,pm|nmp+1 ,mn|mnp+1 \rightarrow mnp|mnp+1\rightarrow mnp=1 \rightarrow \frac{1}{m}|2 ،\frac{1}{n}|2 \frac{1}{p}|2\rightarrow m=n=p=1$

AHZolfaghari گفت

AHZolfaghari · 1393/6/15

پاسخ : ماراتن نظریه ی اعداد (سطح پیشرفته)

darya.f گفت

ببخشید فکر کنم حواستون به اینکه گویا هستند نبوده !!

darya.f · 1393/6/15

پاسخ : ماراتن نظریه ی اعداد (سطح پیشرفته)

AHZolfaghari گفت

بله ببخشىد...:3:

REZA 73 · 1393/6/15

پاسخ : ماراتن نظریه ی اعداد (سطح پیشرفته)

mahmoud20ni گفت

یعنی شما ثابت کردید که عددی به شکل

$2^{q-1}(2^q-1)$

وجود ندارد .(با توجه اول بودن q و

$2^q-1$

) ؟!!! بعد از طرفی عددی به این شکل لزومی ندارد کامل باشد ؟ میشه اگه منظورتون رو اشتباه فهمیدم بیشتر توضیح بدید .

---- دو نوشته به هم متصل شده است ----

فرض کنید عددی داریم که کامله و زوج هم هست.مثله x در ضمن s فرده:

$x=2^{^q-1}s \Rightarrow 2x=2^{q}s=\sigma (x)=\sigma (2^{q-1})\sigma (s)=(2^q-1)\sigma (s)$

$\Rightarrow \sigma (s)=s+\frac{s}{2^q-1}$

حالا طبق تعریف معلومه که

$\frac{s}{2^q-1}$

باید 1 باشه یعنی s عددی اوله و حکم ثابت میشه. اونوقت توان 2 که کوچکترین عامل هست زوجه و با فرض اولیه فرد بودن تناقض داره . به غیر از عدد 6...

REZA 73 · 1393/6/16

پاسخ : ماراتن نظریه ی اعداد (سطح پیشرفته)

سوال بعد :

تمام اعداد گویا m,n,p را بیابید که :

$m + \frac{1}{np} , n+ \frac{1}{pm} , p+ \frac{1}{mn}$

صحیح شوند[/QUOTE]

$(m+\frac{1}{nq})(n+\frac{1}{mq})(q+\frac{1}{nm})=\frac{(1+mnq)^3}{(mnq)^2}\in Z$

حالا

$mnq$

هم گویا هست پس فرض کنید برابر

$\frac{a}{b}$

باشه که a و b نسبت به هم اولا.

$\Rightarrow \frac{(a+b)^3}{ba^2}\in Z\Rightarrow b\mid a,a\mid b$

و این تناقضه . در نتیجه

$mnq$

عدد طبیعیه.حالا به راحتی نتیجه میشه که :

$2m\in Z ..... 2n\in Z.....2q\in Z$

بقیه دیگه چک کردن سادس ...

Farbod9717 · 1393/6/29

پاسخ : ماراتن نظریه ی اعداد (سطح پیشرفته)

اينطور كه معلومه يه ١٥ روزي اينجا داره خاك ميخوره
حالا من يه سوال بذارم....
n عددى طبيعى است و مجموع مقسوم عليه هاى مثبت آن توانى از ٢ است ثابت كنيد تعداد اين مقسوم عليه ها هم توانى از ٢ است.

Dadgarnia · 1393/6/29

پاسخ : ماراتن نظریه ی اعداد (سطح پیشرفته)

Farbod9717 گفت

فرض می کنیم

$n=\prod_{i=1}^{k}p_i^{\alpha_i}$

واضح است که

$\alpha_i$

ها فردند. پس فرض می کنیم

$\alpha_1=2^\beta m-1$

که m فرد است. پس داریم(

$p_1$

را با p نشان می دهیم):

$\frac{p^{2^\beta m}-1}{p-1}=(p^{2^{\beta-1}m}+1)\cdots(p^m+1)\frac{p^m-1}{p-1}\Rightarrow p^m+1=2^i,p^m-1=2^j(p-1)\Rightarrow 2^i-2^j(p-1)=2\Rightarrow j=1\Rightarrow 2^i=p$

اما واضح است که p نمی تواند دو باشد پس j برابر با صفر است که نتیجه می دهد m برابر با یک است. پس داریم:

$\alpha_i=2^{\beta_i}-1$

که حکم را نتیجه می دهد.

math · 1393/6/29

پاسخ : ماراتن نظریه ی اعداد (سطح پیشرفته)

Dadgarnia گفت

فکر میکنم با توجه به قوانین شما باید سوال بعدی رو بذارید . :3:

Dadgarnia · 1393/6/29

پاسخ : ماراتن نظریه ی اعداد (سطح پیشرفته)

math گفت

من سابقه ي خوبي توي سوال گذاشتن ندارم يكي دو بار سوال گذاشتم تاپيك خوابيد. اميدوارم اين دفعه اينجوري نشه:
يك عدد صحيح مثبت تناوبي ناميده مي شود اگر در بين هر دو رقم متوالي آن درمبناي 10 يكي زوج و ديگري فرد باشد همه ي اعداد صحيح n را چنان پيدا كنيد كه n مضربي در بين اعداد تناوبي داشته باشد.

TheOverlord · 1393/7/5

پاسخ : ماراتن نظریه ی اعداد (سطح پیشرفته)

لم1)دقت کنید که اگر n عددی باشد که نسبت به 10 اول است آنگاه

$10^t$

به پیمانه n مرتبه ای مانند m دارد.
1)ابتدا حالتی بگیرید که n نسبت به 10 اول است. پس به ازای t=2
n|(10101...010)*99

$n|100^m-1 \Rightarrow n|99\dots 99 \Rightarrow$

حال فرض کنید تعداد 10 ها در عبارت بالا برابر k باشد. 99k بار 10 رو پشت سرهم بنویسید و اسم این عبارت رو r بگذارید. این عبارت بدیهتا تناوبی است و ثابت میکنیم n|r.
دقت کنید که n|(10101...010)*99=r*99/s کافیست بگوییم s بر 99 بخش پذیر است در این صورت اگر s/99=l آنگاه n|r/l پس n|r اما این نیز طبق لم دو خط بدیهی است(متاسفانه از تایپ این موضوع عاجزم) پس در این حالت مساله حل است.

2)اگر ب. م. م. 100 با n برابر با 10 هم باشد حکم بدیهی است زیرا اثبات کردیم n/10 مضربی تناوبی دارد، و اگر دقت کنید رقم آخر این مضربی که ساختیم صفر است پس این مضرب هم بر n/10 و هم بر 10 بخش پذیر است و چون ب.م.م. 100 با n برابر 10 است پس این دو عدد نسبت به هم اولند پس طبق لم اقلیدس آن مضرب بر n هم بخش پذیر است.

3)حال دقت کنید که اگر n بر 20 بخش پذیر باشد آنگاه بدیهتا n مضرب تناوبی ندارد زیرا رقم آخر همه مضارب n صفر است و رقم ماقبل آخر آنها هم زوج. پس دو رقم زوج متوالی دارند.

پس باید تنها حالاتی را بررسی کنیم که ب. م.م. n با 10 برابر 2 یا 5 است یا n بر 50 بخش پذیر باشد ولی بر 4 بخش پذیر نباشد.
دو حالت اول را میتوان طبق استقرا ثابت کرد که برای توان های 2 و 5 درست است و سپس از لم1 بگوییم در این حالات مضرب تناوبی وجود دارد ، و بخش پذیری n بر 50 را میتوان مانند نتیجه گرفتن پاراگراف 2 از 1 ثابت کرد که مضرب تناوبی وجود دارد پس مضرب تناوبی برای هر n که بر 20 بخش پذیر نیست وجود دارد.

TheOverlord · 1393/7/13

پاسخ : ماراتن نظریه ی اعداد (سطح پیشرفته)

ثابت كنيد كه تابع حسابي

$\pi(n)$

يعني تعداد اعداد اول كوچكتر يا مساوي

$n$

به فرم حاصل تقسيم دو چند جمله اي قابل بيان نيست

aras2213 · 1393/7/17

پاسخ : ماراتن نظریه ی اعداد (سطح پیشرفته)

TheOverlord گفت

این راه درسته؟:17:

فرض کنید که:

$\pi (n)=\frac{f(n)}{g(n)}$

حالا اگه

$p_{n}$

، n امین عدد اول باشه اون وقت

$1=\pi (p_{n})-\pi (p_{n}-1)=\frac{f(p_{n})}{g(p_{n})}-\frac{f(p_{n}-1)}{g(p_{n}-1)}$

اما

$\lim_{n\rightarrow \infty }\frac{f(p_{n})}{g(p_{n})}-\frac{f(p_{n}-1)}{g(p_{n}-1)}=0$

که تناقضه.

ماراتن نظریه ی اعداد (سطح پیشرفته)

New Member

Active Member

Active Member

New Member

New Member

Active Member

New Member

Well-Known Member

New Member

Well-Known Member

New Member

Active Member

Active Member

New Member

New Member

New Member

New Member

New Member

New Member

New Member