ماراتن جبر (سطح ممتاز)

Dadgarnia · 1393/7/20

با توجه به اينكه در قسمت جبر ممتاز ماراتني وجود نداره و قسمت جبر هم زياد فعال نيست با اجازه ي جناب math تصميم به ايجاد كردن اين ماراتن گرفتم. قوانين هم ايناست:
١- فقط فارسي بنويسيد.
٢- تا سوال حل نشده اي وجود داره سوال جديدي نذاريد.
٣- هر كس سوالي رو حل كرد بايد سوال بعدي رو خودش بذاره.
٤- سوالات در سطح مرحله دو و بالاتر باشه.
سوال اول رو من ميذارم و اميدوارم اين ماراتن هم رونق بگيره.
تمام توابع

$f,g:\mathbb{R} \mapsto \mathbb{R}$

رو بيابيد به طوري كه براي هر

$x,y\in \mathbb{R}$

داشته باشيم:

$f(x+g(y))=xf(y)-yf(x)+g(x)$

darya.f · 1393/7/21

پاسخ : ماراتن جبر (سطح ممتاز)

Dadgarnia گفت

با توجه به اينكه در قسمت جبر ممتاز ماراتني وجود نداره و قسمت جبر هم زياد فعال نيست با اجازه ي جناب math تصميم به ايجاد كردن اين ماراتن گرفتم. قوانين هم ايناست:
١- فقط فارسي بنويسيد.
٢- تا سوال حل نشده اي وجود داره سوال جديدي نذاريد.
٣- هر كس سوالي رو حل كرد بايد سوال بعدي رو خودش بذاره.
٤- سوالات در سطح مرحله دو و بالاتر باشه.
سوال اول رو من ميذارم و اميدوارم اين ماراتن هم رونق بگيره.
تمام توابع

$f,g:\mathbb{R} \mapsto \mathbb{R}$

رو بيابيد به طوري كه براي هر

$x,y\in \mathbb{R}$

داشته باشيم:

$f(x+g(y))=xf(y)-yf(x)+g(x)$

$P(x,0) \rightarrow f(x+g(0))=xf(0)+g(x) :4 x\rightarrow g(x)-g(0) \Rightarrow f(g(x))=(g(x)-f(0))f(0)+g(g(x)-g(0)):5 x\rightarrow 0 , f(g(0))=(g(0)-f(0))f(0)+g(0) , p(0,0) \rightarrow f(g(0))=g(0)\Rightarrow (g(0)-f(0))f(0)=0 ,1: f(0)=0 \rightarrow p(0,x) \rightarrow f(g(x))=g(0)-xf(0):3$

$, 5\rightarrow g(0)-xf(0)=g(x)f(0)-f(0)^2 +g(g(x)-g(0))\Rightarrow g(0)=g(g(x)-g(0)) , 3\rightarrow g(x)\rightarrow 1-1 \Rightarrow g(x)=g(0)=c , 4\rightarrow f(x+c)=c , x\rightarrow -c \Rightarrow f(0)=c=0 \Rightarrow g(x)=0 , f(x)=0 ,2: g(0)=f(0) , 4\rightarrow f(x+m)=mx+m , x\rightarrow -m \Rightarrow f(0)=0=m \Rightarrow f(x)=0 ,4\rightarrow g(x)=0$

---- دو نوشته به هم متصل شده است ----

سوال بعد:

$F(xf(y)+y) +f(-f(x))=f(yf(x)-y) +y$

F رو از RبهR بىابىد

Dadgarnia · 1393/7/21

پاسخ : ماراتن جبر (سطح ممتاز)

darya.f گفت

اونجايي كه ميگيد g يك به يكه چجوري اينو بدست آورديد؟ بعدشم اگه g يك به يكه چجوري مي تونه ثابت باشه.

darya.f · 1393/7/21

پاسخ : ماراتن جبر (سطح ممتاز)

$f(gx1))= g(0)-x1f(0)\rightarrow x1f(0)=x2f(0)\Rightarrow x1=x2$

خب ىنى جواب نداره؟!

Dadgarnia گفت

Dadgarnia · 1393/7/21

پاسخ : ماراتن جبر (سطح ممتاز)

darya.f گفت

مي دونيم كه

$f(0)=0$

پس اون نتيجه اي كه شما گرفتيد غلطه.

darya.f · 1393/7/21

پاسخ : ماراتن جبر (سطح ممتاز)

Dadgarnia گفت

مي دونيم كه

$f(0)=0$

پس اون نتيجه اي كه شما گرفتيد غلطه
اها بله همون اول باىد تو 1-1 ىش اىن شرط رو روش مىذاشتم..درست مىفرماىىد..

---- دو نوشته به هم متصل شده است ----

Dadgarnia گفت

واسه حالت اول که اشتباه شد:

$f0)=0 , f(x+g(0))=g(x):1 , x\rightarrow -g(0) \Rightarrow f(0)=g(-g(0))=0 \rightarrow f(g(x))=g(0) ,\Rightarrow x\rightarrow -g(0) \Rightarrow g(0)=0 ,1: f(x)=g(x) \rightarrow f(x+f(y))=xf(x)+f(x) , y\rightarrow 0 \rightarrow f(x)=xf(x)+f(x)\Rightarrow f(x)=0=g(x)$

Dadgarnia · 1393/7/21

پاسخ : ماراتن جبر (سطح ممتاز)

darya.f گفت

Dadgarnia گفت

چجوري بدست آورديد

$f(x+f(y))=xf(x)+f(x)$

توي حالت دوم درستش اينه

$f(x+m)=mx+g(x)$

darya.f · 1393/7/21

پاسخ : ماراتن جبر (سطح ممتاز)

Dadgarnia گفت

darya.f · 1393/7/22

پاسخ : ماراتن جبر (سطح ممتاز)

$f(xf(y)+y)+f(-f(x))=f(yf(x)-y)+y$

تابع رو از RبهR بىابىد
بالا شلوغ شد..اىنجا دوباره گذاشتم..

darya.f · 1393/7/23

پاسخ : ماراتن جبر (سطح ممتاز)

راهنماىى:f(0)=c درنظر بگىرىد..و (f(c ، و اىنا رو تشکىل بدىن و c بازى کنىن..نتاىج خوبى بدست مىاد

Dadgarnia · 1393/7/24

پاسخ : ماراتن جبر (سطح ممتاز)

darya.f گفت

فرض کنید رابطه ی بالا

$P(x,y)$

و

$f(0)=c$

باشه. داریم:

$P(0,0)\rightarrow f(-c)=0$

$P(0,x)\rightarrow f(x)=f(x(c-1))+x$

اگه

$c=1$

باشه جواب

$f(x)=x+1$

بدست میاد در غیر این صورت اگر در رابطه ی آخر

$x=-\frac{c}{c-1}$

را جایگذاری کنیم داریم:

$f(-\frac{c}{c-1})=-\frac{c}{c-1}$

$P(0,\frac{c}{c-1})\rightarrow f(\frac{c}{c-1})=f(c)+\frac{c}{c-1}=2c+\frac{c}{c-1}$

$P(-c,-\frac{c}{c-1})\rightarrow 3c=f(\frac{c}{c-1})-\frac{c}{c-1}=2c\Rightarrow c=0$

$f(-x)=f(x)-x$

$f(-f(x))=0$

$P(-x,-y)\rightarrow f(-xf(y)+xy-y)=f(-yf(x)+xy+y)-y$

اگر در رابطه ی بالا

$x=1,y=\frac{1}{2-f(1)}$

را قرار دهیم داریم

$f(1)=1$

و با قرار دادن

$x=1,y=x$

در رابطه ی بالا بدست می آید

$f(x)=x$

که در صورت سوال صدق نمی کند پس تنها جواب سوال

$f(x)=x+1$

است.
سوال بعد:
همه ی چند جمله ای های

$P(x)$

را بیابید به طوریکه برای هر سه عدد صحیح

$a,b,c$

که

$a+b+c\neq 0$

،

$\frac{P(a)+P(b)+P(c)}{a+b+c}$

صحیح باشد.

math1998 · 1393/7/25

پاسخ : ماراتن جبر (سطح ممتاز)

Dadgarnia گفت

$1)a=b=c=x\Rightarrow x\mid p(x)\Rightarrow x\mid \sum_{i=1}^{n}t_{i}x^i+t_{0},x\mid \sum_{i=1}^{n}t_{i}x^i\Rightarrow x\mid t_{0}$

$p(x)=\sum_{i=0}^{n}t_{i}x^i$

اما

$x$

بی نهایت مقدار میتونه داشته باشه پس

$t_{0}=0\Rightarrow p(0)=0$

$(a,0,(b+c))\Rightarrow a+b+c\mid p(a)+p(b+c),a+b+c\mid P(a)+p(b)+p(c)\Rightarrow a+b+c\mid p(b+c)-p(b)-p(c)$

حالا اگه

$a$

رو خیلی بزرگ کنیم داریم :

$p(b+c)-p(b)-p(c)=0\Rightarrow p(b+c)=p(b)+p(c)$

$\Rightarrow p(x)=ax,a\in \mathbb{Z}$

$(b+c)^n=b^n+c^n\Rightarrow n=0,1$

مقایسه

$a_{n}$

اخرش رو اشتباه نوشتم ضرایب

$a_{n-1}$

منظورم بود.

AHZolfaghari · 1393/7/25

پاسخ : ماراتن جبر (سطح ممتاز)

سوال بعد رو با اجازتون من میذارم .
n یک عدد طبیعی است . کم ترین مقدار C را بیابید که برای n عدد نامنفی

$x_1,x_2,...,x_n$

داشته باشیم :

$(\sum x_ix_j(x_i^2+x_j^2))\leq C(\sum x_i)^4$

توجه کنید که i و j متمایزند .

math1998 · 1393/7/25

پاسخ : ماراتن جبر (سطح ممتاز)

AHZolfaghari گفت

جواب

$\frac{n-1}{n^3}$

درسته ؟

darya.f · 1393/7/25

پاسخ : ماراتن جبر (سطح ممتاز)

AHZolfaghari گفت

ببخشىد جوابش

$\frac{1}{n(n-1)}$

نىست؟

---- دو نوشته به هم متصل شده است ----

AHZolfaghari گفت

ببخشىد جوابش

$\frac{1}{n(n-1)}$

نىست؟

AHZolfaghari · 1393/7/25

پاسخ : ماراتن جبر (سطح ممتاز)

نه متاسفانه هر دو جواب نادرسته [MENTION=17012]darya.f[/MENTION] [MENTION=18610]math1998[/MENTION]

math1998 · 1393/7/26

پاسخ : ماراتن جبر (سطح ممتاز)

AHZolfaghari گفت

این راه حله رو زیاد مطمئن نیستم اما حالا ببین درسته یا نه!!!

نامساوی کاملا همگنه پس میتونیم شرط

$\sum x_{i}=1$

حالا فرض کنیم

$k$

تا از اعداد ناصفرند پس اگر هیچکدام از

$x_{i},x_{j}$

صفر نباشند در عبارت میان خوب پس باید ثابت کنیم

$\sum x_{i}^3x_{j}+x_{j}^3x_{i}\leq C$

حالا با استفاده از مورهد داریم :

$\sum x_{i}^3x_{j}+x_{j}^3x_{i}\leq k-1(\sum x_{i}^4)\leq C$

ما میخوایم

$C$

مینیمم باشه پس عبارت سمت چپ باید مینیمم باشه

$k-1=1\Rightarrow k=2$

پس

$n-2$

عدد صفر

$2$

تا ناصفر مثل

$a,b,a+b=1$

داریم :

حالا دیگه ساده شد با دوتا متغیر راحت داریم که مینیمم

$a^4+b^4$

برابر

$2(ab)^2$

اما ضرب دو عدد با جمح ثابت وقتی مینیممه که دوتا تا حد امکان به هم نزدیک باشن
یعنی

$a=b=\frac{1}{2}$

پس داریم

$min(C)=\frac{1}{8}$

AHZolfaghari · 1393/7/26

پاسخ : ماراتن جبر (سطح ممتاز)

math1998 گفت

حقیقتش من نامساوی مورهد رو نمیدونم چیه و استفادش چجوریه و ... کلا نمیدونم !!من اول دو تا 1 دادم و بقیه رو صفر بدست اومده C از 1/8 بزرگ تر مساوی و سعی کردم برای 1/8 اثبات کنم :بقیه اگه بلدن باید چک کنن که درسته یا نه . من شخصا اول که با توجه به همگنی فرض کردم مجموعشون یکه . بعد از میکسینگ استفاده کردم . مثلا x_1 , x_2 رو گرفتم یکیشونو صفر کردم و اون یکی رو برابر جمع دو تاشون گذاشتم . با این کار فرضیات که بهشون دست نمیخوره . اگه بنویسید حکم رو هم بزرگ میکنه . پس همین جوری یکی یکی صفر میکنیم تا حالت دوتایی . حالت دوتایی هم که معلومه و با حسابی هندسی اثبات میشه .

---- دو نوشته به هم متصل شده است ----

سوال بعد :
آیا تابع f از اعداد طبیعی به خودش وجود دارد بطوریکه به ازای هر n طبیعی داشته باشیم

f(f(n)) = n + 1

Dadgarnia · 1393/7/27

پاسخ : ماراتن جبر (سطح ممتاز)

AHZolfaghari گفت

اگه از دو طرف رابطه ي بالا f بگيريم بدست مياد:

$f^3(n)=f(n+1)$

و اگه در صورت سوال

$n=f(n)$

رو قرار بديم بدست مياد:

$f^3(n)=f(n)+1$

حالا با استفاده از دو رابطه ي بدست اومده مي تونيم با استقرا ثابت كنيم

$f(n)=c+n-1$

اگه اين رابطه رو توي صورت سوال جاگذاري كنيم داريم

$c=\frac{3}{2}$

كه تناقضه پس چنين تابعي وجود نداره.
سوال بعد:
فرض کنید

$P(x)$

یک چند جمله ای با ضرایب صحیح باشد که برای بعضی از اعداد صحیح نا صفر

$P(n^2)=0$

است. نشان دهید

$P(a^2)\neq 1$

برای هر عدد حقیقی ناصفر.

Dadgarnia · 1393/7/29

پاسخ : ماراتن جبر (سطح ممتاز)

برای ادامه دادن به ماراتن من سوال بعد رو می ذارم هر کی سوال قبل رو حل کرد جوابش رو همین جا بذاره:
تمام توابع

$f:\mathbb{R} \mapsto \mathbb{R}$

را بیابید به طوریکه برای هر

$x,y\in \mathbb{R}$

داشته باشیم:

$f(x^2)+f(xy)=f(x)f(y)+yf(x)+xf(x+y)$

ماراتن جبر (سطح ممتاز)

New Member

New Member

New Member

New Member

New Member

New Member

New Member

New Member

New Member

New Member

New Member

New Member

Well-Known Member

New Member

New Member

Well-Known Member

New Member

Well-Known Member

New Member

New Member