ماراتن جبر (سطح ممتاز)

m-saghaei · 1394/3/5

پاسخ : ماراتن جبر (سطح ممتاز)

اصلا یه چیز دیگه. اون آخرین نتیجه گیری چه جوری به دست اومده ؟ ضرایب رو چه جوری خط زدین ؟

حمید آنالیز · 1394/3/5

پاسخ : ماراتن جبر (سطح ممتاز)

فک کنم باید اون سیگماها رو پا کنم و اون iرو به عنوان بزرگتزین توان در نظر بگیرم اونوخت درس میشه چون من اول با این روش حل کرده بودم

Dadgarnia · 1394/3/5

پاسخ : ماراتن جبر (سطح ممتاز)

حمید آنالیز گفت

همون اولش كه دو تا متغيرو مساوي گذاشتين ديگه اثبات تموم بود چون از اونجا نتيجه ميشه

$n=1$

و با جايگذاري توي صورت سوال بدست مياد

$p(x)=ax$

.
سوال بعد:
براي اعداد مثبت

$x,y,z$

نشان دهيد

$\sum_{cyc}x^3(y^2+z^2)^2\geq xyz\sum_{cyc}xy(x+y)^2$

aras2213 · 1394/3/15

پاسخ : ماراتن جبر (سطح ممتاز)

$\sum x^3(y^2+z^2)^2\geq xyz\sum xy(x+y)^2\Leftrightarrow \sum (x-y)^2\left [ z^3(zx+zy-xy) \right ]\geq 0$

اگه

$x\geq y\geq z$

داریم

$S_y\geq 0,S_x+S_y\geq 0,S_y+S_z\geq 0$

.(خودتون بررسی کنید:65

پس نامساوی درسته.

Dadgarnia · 1394/3/15

پاسخ : ماراتن جبر (سطح ممتاز)

aras2213 گفت

ايشاا... كه درسته! :4: لطفا سوال بعد رو هم بذار.

aras2213 · 1394/3/18

پاسخ : ماراتن جبر (سطح ممتاز)

a,b,c اعداد حقیقی و مثبت هستند به طوری که:

$16(a+b+c) \geq \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+ \frac{1}{c}$

. نشان دهید:

$\sum (\frac{1}{a+b+\sqrt{2a+2c}})^3\leq \frac{8}{9}$

*ویرایش شد.

nima-1376 · 1394/5/2

پاسخ : ماراتن جبر (سطح ممتاز)

سوالات بعد

1- تمام توابع از

$f:\mathbb{N}\rightarrow \mathbb{N}$

رابیابید که:

$f(f(n))+f(n+1)=n+2$

2- تمام توابع از

$f:\mathbb{N}\rightarrow \mathbb{N}$

رابیابید که:

$f(xf(y)+y)=yf(x)+f(y)$

و مقدارf اعداد اول اول باشد.

3- تمام توابع یک به یک از

$f:\mathbb{N}\rightarrow \mathbb{N}$

رابیابید که:

$f(f(n))\leq \frac{f(n)+n}{2}$

4- تمام توابع از

$f:\mathbb{Z}\rightarrow \mathbb{Z}$

رابیابید که:

$f(m+n)+f(mn-1)=f(m)f(n)+2$

5- تمام توابع از

$f:\mathbb{N}\rightarrow \mathbb{N}$

رابیابید که:

$f(n)+f(f(n))+f(f(f(n)))=3n$

6- تمام توابع از

$f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$

رابیابید که:

$f(x+1)\geq x+1 ,f(x+y)\geq f(x)f(y)$

7- تمام توابع از

$f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$

رابیابید که:

$f(x+f(y))=f(x)+(f(y))^{2}+2xf(y)$

8- تمام توابع از

$f:\mathbb{N}\rightarrow \mathbb{N}$

رابیابید که:

$f(f(n))+f(f(n+2))=f(n+1)$

9-نامساوی زیر را اثبات کنید.

$x_{i}\in \mathbb{R},\sum \mid x_{i}\mid -\mid \sum x_{i}\mid \leq \frac{n^{2}-1}{4}$

که در آن

$x_{1},...,x_{n}$

حقیقی و فاصله هر دو

$x_{i}$

متوالی کم تر مساوی یک است

10-تمام چند جمله ای ها با ضرایب حقیقی را بیابید که

$abc=1\Rightarrow p(a+\frac{1}{a},b+\frac{1}{b},c+\frac{1}{c})=0$

11- تمام چند جمله ای ها با ضرایب مختلط رابیابید که

$p(2x^{2}-1)=\frac{p(x)^{2}}{2}-1$

Dadgarnia · 1394/5/3

پاسخ : ماراتن جبر (سطح ممتاز)

2-

$P(1,1)\Rightarrow f(f(1)+1)=2f(1)$

پس

$f(f(1)+1)$

اول نيست كه تناقضه.
3- فرض مي كنيم وجود داشته باشه

$n$

اي كه

$f(n)<n$

باشه. پس داريم:

$f(f(n))\leq \frac{n+f(n)}{2}<n$

به همين ترتيب براي هر

$m$

طبيعي داريم

$f^{m}(n)<n$

چون

$f^{m}(n)$

ها متناهي مقدار مي تونن بگيرن

$k,\ell$

اي وجود دارند كه

$f^{k}(n)=f^{\ell}(n)\Rightarrow n>f^{|k-\ell|}(n)=n$

كه تناقضه پس براي هر

$n$

طبيعي

$f(n)\geq n$

ئه. با استفاده از اين رابطه داريم:

$f(n)\leq f(f(n))\leq \frac{n+f(n)}{2}\leq f(n)\Rightarrow f(n)=n$

4- واضحه كه

$f$

ثابت نيست پس داريم:

$P(0,n)\Rightarrow f(n)+f(-1)=f(0)f(n)+2\Rightarrow f(0)=1,f(-1)=2$

$\Rightarrow P(-1,-1)\Rightarrow f(-2)=5$

$\Rightarrow P(-1,1)\Rightarrow f(1)=2$

$\Rightarrow P(1,n)\Rightarrow f(n+1)=2f(n)-f(n-1)+2$

حالا با استفاده از استقرا مي تونيم به راحتي ثابت كنيم

$f(n)=n^2+1$

.
5- واضحه كه

$f(1)=1$

و

$f$

يك به يكه. روي

$n$

استقرا مي زنيم يعني فرض مي كنيم براي همه ي اعداد كوچكتر از

$n$

تابع همانيه. اگه يكي از سه عدد سمت چپ تساوي بزرگتر از

$n$

باشند وجود داره

$1\leq k\leq 3,\ell<n$

كه

$f^{k}(n)=\ell<n$

حالا بنابر فرض استقرا و يك به يكي تابع بايد داشته باشيم

$f(n)=\ell$

كه نتيجه ميده

$3n=f(n)+f(f(n))+f(f(f(n)))=3\ell<3n$

و اين تناقضه پس

$f(n)=n$

و گام استقرا ثابت ميشه.
6- من يه سوال مشابه اين ديده بودم كه شرط اولش

$f(x)\geq x+1$

بود. شما سوالو درست نوشتين؟

Sharifi_M · 1394/5/3

پاسخ : ماراتن جبر (سطح ممتاز)

Dadgarnia گفت

غلط حل کردید!
الان اینکه حاصل اون تابع اول نیست تناقضی نیست نشون میده که

$f(1)+1$

اول نیست یا

$f(1)=1$

.
دقت کنید که گفته مقدار f اعداد اول اوله.
+ f(x)=x یه جواب بدیهی و واضح این سواله

Dadgarnia · 1394/5/4

پاسخ : ماراتن جبر (سطح ممتاز)

Moshk گفت

من فكر مي كردم f همه ي اعداد اوله.
7- واضحه كه

$f(x)\equiv 0$

يه جوابه براي اين سوال پس فرض مي كنيم

$t$

اي وجود داره كه

$f(t)\neq 0$

. داريم:

$P(0,x)\rightarrow f(f(x))=f(x)^2+f(0)$

$\Rightarrow f(f(x)^2+f(0))=(f(x)^2+f(0))^2+f(0)$

$\Rightarrow P(x,f(y)),P(x+f(y)^2,0)\rightarrow f(x+f(y)^2)=f(x)+f(y)^4+2xf(y)^2$

$\Rightarrow P(x,y+f(z))\rightarrow f(x+2yf(z))=f(x)+4y^2f(z)^2+4xyf(z)$

عبارت آخر رو

$Q(x,y,z)$

مي ناميم. داريم:

$Q(0,\frac{x}{2f(t)},t)\rightarrow f(x)=x^2+f(0)$

با جايگذاري توي صورت سوال بدست مياد

$f(0)=0$

و يه جواب ديگه ي اين سوال

$f(x)=x^2$

هست.

---- دو نوشته به هم متصل شده است ----

8- واضحه كه مينيمم مقدار

$f$

براي

$f(1)$

رخ ميده و

$f$

بقيه ي اعداد از

$f(1)$

بزرگتره چون اگه مينيمم مقدار براي يه عدد ديگه مثل

$n_0>1$

اتفاق بيافته اون وقت

$P(n_0-1)$

نتيجه ميده كه

$f(n_0)>f(f(n_{0}-1))$

و اين تناقضه. فرض مي كنيم بعد از

$f(1)$

،

$f(n_1)$

مينيمم باشه. داريم:

$P(n_1-1)\rightarrow f(f(n_1-1))+f(f(n_1+1))=f(n_1)\Rightarrow f(n_1+1)=1\leq f(1)$

اين هم تناقضه پس چنين تابعي وجود نداره.

Amitis :D · 1394/5/18

پاسخ : ماراتن جبر (سطح ممتاز)

nima-1376 گفت

نشان می دهیم دو تابع روبرو جواب های مساله هستند:

$f_1(n)=\left\{\begin{matrix} n:n\ge 5\; \mathrm{odd}\\ 2:n\ge 4\; \mathrm{even}\\ 1:n=2,3\\ 3:n=1 \end{matrix}\right.$

و

$f_2(n) = \left \lceil{\frac{n}{\varphi}} \right \rceil\;:\varphi = \frac{1+\sqrt{5}}{2}$

ابتدا توجه کنید که

$f(f(1))+f(2)=3\Rightarrow \left\{\begin{matrix} f(f(1))=2\\ f(2)= \end{matrix}\right.\; \mathrm{Or}\left\{\begin{matrix} f(f(1))=1\\ f(2)=2 \end{matrix}\right.$

حالت اول با استقرا به سادگی اثبات می شود و نکته ای ندارد. بنابراین فرض می کنیم که:

$\left\{\begin{matrix} f(f(1))=1\\ f(2)=2 \end{matrix}\right.$

برای به دست آوردن جواب دوم نیز از استقرا استفاده می کنیم. برای این کافیست ثابت کنیم:

$n+2-\left\lceil\frac{\lceil\frac{n}{\varphi}\rceil}{\varphi}\right\rceil=\left\lceil\frac{n+1}{\varphi}\right\rceil$

اینم باشه واسه بعدا.
D:

Dadgarnia · 1394/5/18

پاسخ : ماراتن جبر (سطح ممتاز)

Amitis :D گفت

نشان می دهیم دو تابع روبرو جواب های مساله هستند:

$f_1(n)=\left\{\begin{matrix} n:n\ge 5\; \mathrm{odd}\\ 2:n\ge 4\; \mathrm{even}\\ 1:n=2,3\\ 3:n=1 \end{matrix}\right.$

و

$f_2(n) = \left \lceil{\frac{n}{\varphi}} \right \rceil\;:\varphi = \frac{1+\sqrt{5}}{2}$

ابتدا توجه کنید که

$f(f(1))+f(2)=3\Rightarrow \left\{\begin{matrix} f(f(1))=2\\ f(2)= \end{matrix}\right.\; \mathrm{Or}\left\{\begin{matrix} f(f(1))=1\\ f(2)=2 \end{matrix}\right.$

حالت اول با استقرا به سادگی اثبات می شود و نکته ای ندارد. بنابراین فرض می کنیم که:

$\left\{\begin{matrix} f(f(1))=1\\ f(2)=2 \end{matrix}\right.$

برای به دست آوردن جواب دوم نیز از استقرا استفاده می کنیم. برای این کافیست ثابت کنیم:

$n+2-\left\lceil\frac{\lceil\frac{n}{\varphi}\rceil}{\varphi}\right\rceil=\left\lceil\frac{n+1}{\varphi}\right\rceil$

اینم باشه واسه بعدا.
D:

تابع اول جواب نيست.

Amitis :D · 1394/5/18

پاسخ : ماراتن جبر (سطح ممتاز)

Amitis :D گفت

editing
خب
داریم:

$\left \lceil \frac{n}{\varphi} \right \rceil=\frac{n}{\varphi}+1-\left \{ \frac{n}{\varphi} \right \}$

بنابراین:

$\left\lceil\frac{\lceil\frac{n}{\varphi}\rceil}{\varphi}\right\rceil=\left\lceil\frac{n}{\varphi^2}+\frac{1-\{\frac{n}{\varphi}\}}{\varphi}\right\rceil=\left\lfloor\frac{n}{\varphi^2}\right\rfloor+\left\lceil\left\{\frac{n}{\varphi^2}\right\}+\frac{1-\{\frac{n}\varphi\}}{\varphi}\right\rceil$

اما از طرفی داریم:

$\frac{1}{\varphi}+\frac{1}{\varphi^2}=1\Rightarrow\left\{\frac{n}{\varphi}\right\}+\left\{\frac{n}{\varphi^2}\right\}=1$

بنابراین:

$\left\lceil\frac{\lceil\frac{n}{\varphi}\rceil}{\varphi}\right\rceil=\left\lfloor\frac{n}{\varphi^2}\right\rfloor+\left\lceil\left\{\frac{n}{\varphi^2}\right\}\left(1+\frac{1}{\varphi} \right )\right\rceil=\left\lfloor\frac{n}{\varphi^2}\right\rfloor+\left\lceil\left\{\frac{n}{\varphi^2}\right\}\varphi\right\rceil$

حالا باید ثابت کنیم:

$n+2-\left\lceil\frac{\lceil\frac{n}{\varphi}\rceil}{\varphi}\right\rceil\ge \frac{n+1}{\varphi}$

که اینم معادل با اینه که:

$\left\{\frac{n}{\varphi^2}\right\}+2-\frac{1}{\varphi}\ge \left\lceil\left\{\frac{n}{\varphi^2}\right\}\varphi\right\rceil$

اینم یه حالت بندی بدیهیه.
حالا کافیه ثابت کنیم:

$n+2-\left\lceil\frac{\lceil\frac{n}{\varphi}\rceil}{\varphi}\right\rceil\le\left\lceil\frac{n+1}{\varphi}\right\rceil=\left\lfloor\frac{n+1}{\varphi}\right\rfloor+1$

برای اینم کافیه ثابت کنیم:

$n+2-\left\lfloor\frac{n}{\varphi^2}\right\rfloor-\left\lceil\left\{\frac{n}{\varphi^2}\right\}\varphi\right\rceil\le \frac{n+1}{\varphi}+1$

یا به طور معادل:

$\left\{\frac{n}{\varphi^2}\right\}+1\le\frac{1}{\varphi}+\left\lceil\left\{\frac{n}{\varphi^2}\right\}\varphi\right\rceil$

که این هم بدیهی است:

حالت اول:

$\left\{\frac{n}{\varphi^2}\right\}\le\frac{1}{\varphi}$

در این صورت واضحه که:

$\left\lceil\left\{\frac{n}{\varphi^2}\right\}\varphi\right\rceil=1$

و حکم ثابت میشه.

حالت دوم:

$\frac{1}{\varphi}<\left\{\frac{n}{\varphi^2}\right\}<1\Rightarrow\left\lceil\left\{\frac{n}{\varphi^2}\right\}\varphi\right\rceil=2\ge1+\left\{\frac{n}{\varphi^2}\right\}$

.

پس حکم مساله ثابت شد.

---- دو نوشته به هم متصل شده است ----

Dadgarnia گفت

اول مقادیر اولیه رو به دست میاریم:

$f(f(2))+f(3)=4\Rightarrow f(1)+f(3)=4\Rightarrow f(1)\in \{1,2,3\}$

اما:

$f(f(1))=2,f(2)=1\Rightarrow f(1)\neq 1,2\Rightarrow f(1) = 3$

$\Rightarrow f(3)=1$

$f(5)=6-f(f(4))=6-f(2)=6-1=5$

پس پایه ی استقرا جور شد.
حالا حکم استقرا:

$\left\{\begin{matrix} f(2n+1)=2n+2-f(f(2n))=2n+2-f(2)=2n+1\\ f(2n+2)=2n+3-f(f(2n+1))=2n+3-f(2n+1)=2n+3-(2n+1)=2 \end{matrix}\right.$

D:

Dadgarnia · 1394/5/18

پاسخ : ماراتن جبر (سطح ممتاز)

Amitis :D گفت

$f(f(1))=2\Rightarrow 1=f(3)=2$

ماراتن جبر (سطح ممتاز)

m-saghaei

New Member

حمید آنالیز

Well-Known Member

Dadgarnia

New Member

aras2213

New Member

Dadgarnia

New Member

aras2213

New Member

nima-1376

New Member

Dadgarnia

New Member

Sharifi_M

New Member

Dadgarnia

New Member

Amitis :D

New Member

Dadgarnia

New Member

Amitis :D

New Member

Dadgarnia

New Member