ماراتن جبر (سطح ممتاز)

sepidfekr · 1393/10/18

پاسخ : ماراتن جبر (سطح ممتاز)

AHZolfaghari گفت

میدانیم

$\sum \left | x-y \right |\leq2 \sum x^2$

جای گذاری میکنیم:

$4 |\leq2 \sum x^2$

پس بزرگتز مساوی دو که مینیمم میشه 2

AHZolfaghari · 1393/10/18

پاسخ : ماراتن جبر (سطح ممتاز)

sepidfekr گفت

اون قسمت می دانیم رو بیشتر توضیح میدی ؟ درسته گفتم سخت نیست اما نه دیگه انقد !!!

m-saghaei · 1393/10/19

پاسخ : ماراتن جبر (سطح ممتاز)

AHZolfaghari گفت

داریم:

$\sum x^2= \sum \frac{x^2+y^2}{2}\geq \sum \frac{(x-y)^2}{2}\geq \frac{(|x-y|+|y-z|+|z-t|+|t-x|)^2}{8}=\frac{16}{8}= 2$

اون نامساوی وسطیه هم با کوشی اونجوری شد !

پس مینیمم برابره با دو که شرط تساوی هم زمانیه که

$x=z=1$

و

$y=t=0$

!

AHZolfaghari · 1393/10/19

پاسخ : ماراتن جبر (سطح ممتاز)

m-saghaei گفت

درسته فقط تهش نوشتی y=t= 1 که اشتباه تایپی کردی !!!! x=z=1 , y=t=0

m-saghaei · 1393/10/19

پاسخ : ماراتن جبر (سطح ممتاز)

AHZolfaghari گفت

بله ممنون.
ویرایشش کردم!
سوال بعد رو میذارید؟

AHZolfaghari · 1393/10/19

پاسخ : ماراتن جبر (سطح ممتاز)

سوال بعد

ثابت کنید

$\sum_{k=1}^{n-1}\frac{n}{n-k} . \frac{1}{2^{k-1}}<4$

Dadgarnia · 1393/10/20

پاسخ : ماراتن جبر (سطح ممتاز)

AHZolfaghari گفت

AoPS Forum - Sigma and Inequality • Art of Problem Solving

ِDIOPHANTUS · 1393/10/20

پاسخ : ماراتن جبر (سطح ممتاز)

ببخشید علامت سیپما ی خال تو نامساوی هرو میشه توضیح بدین و همچنین

$\sum_{cyc}^{}$

را میتونین توضیح بدین؟؟

---- دو نوشته به هم متصل شده است ----

ببخشید سیگمای =سیپما

Dadgarnia · 1393/10/20

پاسخ : ماراتن جبر (سطح ممتاز)

سوال بعد:
یک چند جمله ای از درجه

$n>1$

1"> دارای

$n$

ریشه ی حقیقی و متمایز

$x_1,x_2,\cdots,x_n$

و مشتق آن دارای ریشه های حقیقی

$y_1,y_2,\cdots,y_{n-1}$

است. درستی نامساوی زیر را نشان دهید:

$\frac{x_1^2+x_2^2+\cdots+x_n^2}{n}>\frac{y_1^2+y_2^2+\cdots+y_{n-1}^2}{n-1}$

---- دو نوشته به هم متصل شده است ----

ِDIOPHANTUS گفت

اینجا جای این سوال نیست! اولی رو که نفهمیدم ولی دومی یعنی سیگمای دوری.

ِDIOPHANTUS · 1393/10/20

پاسخ : ماراتن جبر (سطح ممتاز)

:85:الو کسی به سوالم جواب نمیده؟؟؟؟؟!

---- دو نوشته به هم متصل شده است ----

آقا علیرضا خوب یه تو ضیحی به کاربردش بده دیگه خوب!!!!!

AHZolfaghari · 1393/10/20

پاسخ : ماراتن جبر (سطح ممتاز)

ِDIOPHANTUS گفت

دوست عزیز این جا جای این سوال ها نیست .
این جا انجمن المپیاد ریاضی ممتاز هست . تو توضیحاتش نوشته :

مسایل چالش برانگیز ریاضی فراتر از سطح مرحله دوم المپیاد ریاضی

پس دقت کنید کجا پست میذارید

---- دو نوشته به هم متصل شده است ----

وقتی راهبر های ریاضی سر نمیزنن همین میشه دیگه !!

REZA 73 · 1393/10/20

پاسخ : ماراتن جبر (سطح ممتاز)

Dadgarnia گفت

فرض کنید:

$p(x)=x^n+ax^{n-1}+bx^{n-2}+...$

$p{}'(x)=nx^{n-1}+(n-1)ax^{n-2}+(n-2)bx^{n-3}+...$

یعنی:

$x_{1}^{2}+...+x_{n}^{2}=a^2-2b$

$y_{1}^{2}+...+y_{n-1}^{2}=(\frac{n-1}{n}a)^2-2b(\frac{n-2}{n})$

که پس از جایگذاری در صورت مساله باید ثابت کنیم که:

$a^2n\geq a^2+2nb$

که این هم این طوری ثابت میشه:

$(a^2-2b)n=(x_{1}^{2}+...+x_{n}^{2})n\geq (\left | x_{1} \right |+...+\left | x_{n} \right |)^2\geq a^2$

پس مساله ثابت شده است.

---- دو نوشته به هم متصل شده است ----

aras2213 گفت

برای n های زوج مساله جواب نداره(این رو میشه راحت اثبات کرد) برای n های فرد جواب داره به غیر از یک البته.(این هم حدس میزنم چون واسه 3 وجود داره ولی در مورد اثباتش هنوز فکر نکردم.)

Dadgarnia · 1393/10/20

پاسخ : ماراتن جبر (سطح ممتاز)

REZA 73 گفت

اين درسته كه براي n هاي زوج جواب نداره ولي من از خود آقا ارس كه پرسيدم گفتن كه ثابت كردن به ازاي هيچ nاي جواب نداره!

REZA 73 · 1393/10/21

پاسخ : ماراتن جبر (سطح ممتاز)

Dadgarnia گفت

شما این معادله رو در ولفرم وارد کنید. شاید اشتباه کردم.:92:

$x-\frac{1}{x}=y , y+\frac{1}{y}=z ,z-\frac{1}{z}=x$

---- دو نوشته به هم متصل شده است ----

REZA 73 گفت

http://www.wolframalpha.com/input/?i=x-1/x=y,y+1/y=z,z-1/z=x

Dadgarnia · 1393/10/21

پاسخ : ماراتن جبر (سطح ممتاز)

aras2213 گفت

برای n های زوج دو طرف تمام روابط رو به توان دو برسونید و بعد همه رو با هم جمع کنید که نتیجه میشه برای n های زوج جواب نداره. یه راه حل توی این لینک نوشته اگه کسی فهمید برای منم توضیح بده: AoPS Forum - Find all n such that two sets are identical • Art of Problem Solving

aras2213 · 1393/10/21

پاسخ : ماراتن جبر (سطح ممتاز)

Dadgarnia گفت

شايد من جوب زده باشم(الان ديگه تقريبا مطمئنم كه جوب زدم:4

Dadgarnia · 1393/10/22

پاسخ : ماراتن جبر (سطح ممتاز)

سوال بعد:
اعداد نامنفی

$a,b,c$

در روابط

$a^2\leq b^2+c^2,b^2\leq c^2+a^2,c^2\leq a^2+b^2$

صدق می کنند. درستی نامساوی زیر را نشان دهید:

$\left ( \sum_{cyc}a \right )\left ( \sum_{cyc}a^2 \right )\left ( \sum_{cyc}a^3 \right )\geq 4 \sum_{cyc}a^6$

m-saghaei · 1393/10/22

پاسخ : ماراتن جبر (سطح ممتاز)

Dadgarnia گفت

اول میایم میگیریم

$max(a,b,c)=a$

و از طرفی

$a^2\leq b^2+c^2$

داریم:

$(\sum a)(\sum a^2)(\sum a^3)\geq (\sum a^2)(\sum a^2)^2\geq (\sum a^2)(2a^2)^2= 4a^4(\sum a^2)=4(a^6+a^4b^2+a^4c^2 )\geq 4(a^6+b^6+c^6)$

Dadgarnia · 1393/10/22

پاسخ : ماراتن جبر (سطح ممتاز)

سوال بعد:
براي هر عدد صحيح و مثبت

$n$

چند جمله اي درجه سه

$P(x)$

را خوب مي ناميم اگر اعداد صحيح و متمايز

$a_1,a_2,\cdots,a_n$

وجود داشته باشند كه همه ي ريشه هاي چند جمله اي

$Q_i(x)=P(x)+a_i$

صحيح باشند براي

$1\leq i\leq n$

. براي هر

$n$

صحيح و مثبت ثابت كنيد حداقل يك چند جمله اي خوب وجود دارد.

aras2213 · 1393/10/26

پاسخ : ماراتن جبر (سطح ممتاز)

Dadgarnia گفت

با استقرا روی n نشون میدیم معادلات زیر در اعداد گویا جواب دارند:

$\left\{\begin{matrix} \alpha_{1}^{(1)} +\alpha_{2}^{(1)}+\alpha_{3}^{(1)}=...=\alpha_{1}^{(n)} +\alpha_{2}^{(n)}+\alpha_{3}^{(n)}=0 \\ (\alpha_{1}^{(1)})^2 +(\alpha_{2}^{(1)})^2+(\alpha_{3}^{(1)})^2=...=(\alpha_{1}^{(n)})^2 +(\alpha_{2}^{(n)})^2+(\alpha_{3}^{(n)})^2=\frac{1}{24} \end{matrix}\right.$

و مقدار

$\left | \alpha _{1}^{(i)}\times \alpha _{2}^{(i)}\times \alpha _{3}^{(i)} \right |$

برای هر i با هم متمایز باشند و هیچ کدام 0 نباشند.پایه استقرا درسته هم چنین به جای 1/24 هر عدد دیگه ای که براش پایه استقرا درست باشه هم میشه گذاشت.

حالا میایم میگیم که معادله

$\alpha +\beta +1=0,1+\alpha ^2+\beta ^2=k\times \frac{1}{24}$

به ازای بی نهایت k که k مربع کامل است یه جواب گویا برای آلفا و بتا داره.که برای این هم کافیه که بگیم معادله

$\alpha ^2+\alpha -(1-\frac{n^2}{48})=0$

برای بی نهایت n که n^2=k طبیعی جواب گویا داره.دلتای این معادله

$-3+\frac{n^2}{12}$

است که به ازای بینهایت n مربع کامل میشه.(با پل ثابت میشه)پس چیزی رو که میخواستیم ثابت کردیم.
حالا اگه

$\alpha _{1}^{(n+1)}=1,\alpha _{2}^{(n+1)}=\alpha ,\alpha_{3}^{(n+1)}=\beta$

و همه ی اعداد فرض استقرا رو در k ضرب کنیم یه جواب برای n+1 بدست میاریم.فقط کافیه ضربشون متمایز باشه که این هم با توجه به این که

$\alpha \beta =\frac{2-2\times \frac{k}{24}}{2}$

و با بزرگ شدن k ضرب بقیه قدر مطلق ها در k^3 ضرب میشه اما

$\alpha \beta$

در k ضرب میشه.پس به ازای k های به اندازه کافی بزرگ

$\left | \alpha \beta \right |< \underset{1\leq i\leq n}{min} {\left | \alpha _{1}^{(i)}\times \alpha_{2}^{(i)}\times \alpha_{3}^{(i)} \right |}$

.حالا میشه دید که یه جواب برای n+1 بدست اوردیم.حالا همه رو در یه M بزرگ ضرب کنید تا طبیعی بشن و قرار بدید

$P(x)=x^3-\frac{M}{24}x$

.

دو نکته:

100%-1 مطمنم که جوب داره.اگه جوبش افتضاح بود خیلی نخندید لطفا.:88:

2-خیلی بد نوشتم.دیگه نهایت سعی ام رو کردم که منظورو برسونم.:90:

---- دو نوشته به هم متصل شده است ----

سوال بعد:همه توابع

$f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$

را بیابید به طوری که

$(i)$

تعداد اعداد حقیقی مانند x که

$f(x)=0$

متناهی باشد.

$(ii)$

$f(x^4+y)=x^3f(x)+f(f(y))$

برای هر x,y حقیقی.

ماراتن جبر (سطح ممتاز)

New Member

Well-Known Member

New Member

Well-Known Member

New Member

Well-Known Member

New Member

Member

New Member

Member

Well-Known Member

Active Member

New Member

Active Member

New Member

New Member

New Member

New Member

New Member

New Member