ماراتن جبر (سطح ممتاز)

Dadgarnia · 1393/12/22

پاسخ : ماراتن جبر (سطح ممتاز)

فکر کنم جوبش رو بر طرف کردم!
فرض می کنیم برای اعداد

$x_1,x_2,\cdots$

(این اعداد می تونند متناهی یا نامتناهی باشند و از کوچک به بزرگ مرتب شده اند) داریم

$f(x)>x$

x"> اگه عددی حقیقی مثل

$M$

وجود داشته باشه که برای هر

$i\in \Bbb{N}$

داشته باشیم

$x_i<M$

اون وقت می تونیم همون استدلال قبل رو برای اعداد بزرگتر از

$M$

انجام بدیم اما اگه این اعداد از بالا کران دار نباشند اون وقت داریم:

$P(x_i,f(x_i)-x_i)\rightarrow f(x_i)\leq x_i+1$

عددی مثل

$x$

رو طوری در نظر می گیریم که

$x<x_i$

حالا داریم:

$P(x,x_i-x)\rightarrow (x_i-x)f(f(x))\leq f(x_i)\leq x_i+1\Rightarrow f(f(x))\leq 1+\frac{x+1}{x_i-x}$

چون

$x_i$

ها از بالا کران دار نیستند اگه

$i$

رو به

$+\infty$

ببریم

$\frac{x+1}{x_i-x}$

به صفر میل می کنه پس

$f(f(x))\leq 1$

و بقیه ی اثبات مشابه قبله.
اگه این دفعه درست بود لطفا خودتون به سوال گذاشتن ادامه بدین! :4:

Dadgarnia · 1394/1/4

پاسخ : ماراتن جبر (سطح ممتاز)

چون هیشکی سوال نذاشت من خودم سوال بعدو میذارم فقط زیاد سخت نیست:

$a,b,c$

اعدادی مثبت با شرط

$abc=8$

هستند. درستی نامساوی زیر را نشان دهید:

$\frac{a^2}{\sqrt{(a^3+1)(b^3+1)}}+\frac{b^2}{\sqrt{(b^3+1)(c^3+1)}}+\frac{c^2}{\sqrt{(c^3+1)(a^3+1)}}\geq \frac{4}{3}$

m-saghaei · 1394/1/5

پاسخ : ماراتن جبر (سطح ممتاز)

Dadgarnia گفت

داریم:

$\sqrt{a^3+1}=\sqrt{(a+1)(a^2-a+1)}\leq \frac{(a^2-a+1)+(a+1)}{2}= \frac{a^2+2}{2}$

پس حکم معادل اینه:

$\sum \frac{a^2}{(a^2+2)(b^2+2)}\geq \frac{1}{3}$

حالا میایم اینو سادش میکنیم آخرش میشه این:

$6\sum a^2 +3\sum a^2b^2 \geq a^2b^2c^2+2\sum a^2b^2+4\sum a^2+8$

و حالا از فرض

$abc=8$

اگه استفاده کنیم حکم میشه این:

$2\sum a^2+\sum a^2b^2\geq 72$

که اینم طبق حسابی هندسی واضحه.

Dadgarnia · 1394/1/12

پاسخ : ماراتن جبر (سطح ممتاز)

سوال بعد:
تمام توابع

$f:\Bbb{R}\rightarrow \Bbb{R}$

را بیابید به طوریکه

$f(f(x)+y)=2x+f(f(y)-x)$

.

m-saghaei · 1394/1/12

پاسخ : ماراتن جبر (سطح ممتاز)

Dadgarnia گفت

اول میذاریم

$y=-f(x)$

که میده:

$f(f(-f(x))-x)=2x$

پس تابع پوشاست.

پس

$a,b$

ای وجود داره که

$f(a)=0,f(b)=a$

حالا میدیم

$x=a,y=b$

که میشه:

$a=2a+f(0)$

پس

$a=-f(0)$

حالا یه

$f$

میگیریم میشه

$f(-f(0))=0$

حالا میدیم

$x=-f(0)$

که نتیجه میده:

$f(y)=-2f(0)+f(f(y)+f(0))$

حالا میگیریم

$f(0)=c$

پس

$(f(y)+c)+c=f(f(y)+c)$

که جواب مسئله هم میشه

$f(x)=x+c$

که

$c=f(0)$

Dadgarnia · 1394/1/12

پاسخ : ماراتن جبر (سطح ممتاز)

خب سطح سوالات بالا می رود! :4: سوال بعد:
تمام توابع

$f:\Bbb{R}\rightarrow \Bbb{R}$

را بیابید به طوریکه

$f(x^2+y^2+2f(xy))=f(x+y)^2$

.

aras2213 · 1394/2/11

پاسخ : ماراتن جبر (سطح ممتاز)

Dadgarnia گفت

Community - Art of Problem Solving

Dadgarnia · 1394/3/4

پاسخ : ماراتن جبر (سطح ممتاز)

يه سوال ساده براي راه افتادن ماراتن:
اگر

$a,b,c$

اعدادي مثبت با شرط

$a+b+c=3$

باشند ثابت كنيد

$(3-2a)(3-2b)(3-2c)\leq a^2b^2c^2$

Sharifi_M · 1394/3/4

پاسخ : ماراتن جبر (سطح ممتاز)

Dadgarnia گفت

$(3-2a)(3-2b)(3-2c)=(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)$

مقدار این حاصلضرب برابره با:

$-a^{3}-b^{3}-c^{3}+a^{2}b+a^{2}c+ab^{2}+b^{2}c+ac^{2}+bc^{2}-2abc$

پس حکم میشه:

$-a^{3}-b^{3}-c^{3}+a^{2}b+a^{2}c+ab^{2}+b^{2}c+ac^{2}+bc^{2}-2abc\leq a^{2}b^{2}c^{2}$

$\Leftrightarrow$

$a^{2}b^{2}c^{2}+a^{3}+b^{3}+c^{3}-a^{2}b-a^{2}c-ab^{2}-b^{2}c-ac^{2}-bc^{2}+2abc \geq 0$

بعد این عبارت سمت چپ با حسابی هندسی میشه بزرگترمساوی از 11 تا (رادیکال abc به توان 12 بافرجه 11 ) که اینم اکیدا بزرگتر از صفره چون abc مثبتند
فک کنم مشکل داره ها اخه یجوری راحت حل شد و اینکه حالت تساوی نداره!:4:

Dadgarnia · 1394/3/4

پاسخ : ماراتن جبر (سطح ممتاز)

Moshk گفت

حل شما مشكل داره! :4: ولي سوالشو كه گفتم ساده است و حالت تساويش هم

$a=b=c=1$

هست.

AHZolfaghari · 1394/3/4

پاسخ : ماراتن جبر (سطح ممتاز)

Moshk گفت

تا اون آخری که باز کردید عبارت ها رو قبول اما بعدش که مگید بزرگ تر مساوی 11 تا (رادیکال abc به توان 12 بافرجه 11 ) ایراد داره چون اگه همرو یک بذاریم همچین نامساوی نداریم .

m-saghaei · 1394/3/4

پاسخ : ماراتن جبر (سطح ممتاز)

Dadgarnia گفت

بعد از مدتها سلام.

میایم به جای 3 های صورت سوال میذاریم

$a+b+c$

پس معادله با این:

$\prod (-a+b+c)\leq a^2b^2c^2$

(دوری)

بعد میایم دو طرف رو هم درجه میکنیم.پس چون درجه طرف راست 6ه تو طرف چپ یه

$(a+b+c)^3$

ضرب میکنیم و تو طرف راست یه 27 .

پس میشه این:

$(a+b+c)^3(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)\leq 27a^2b^2c^2$

حالا تغییر متغیر

$x=-a+b+c$

و ... رو انجام میدیم. و همچنین داریم که

$x+y+z=3$

و

$a=y+z/2$

و ... پس حکم میشه:

$64xyz(x+y+z)^3\leq 27(x+y)^2(y+z)^2(z+x)^2$

همچنین روابط روبرو رو هم از قبل داریم:

$9(x+y)(y+z)(z+x)\geq 8(x+y+z)(xy+yz+zx)$

و

$(xy+yz+zx)^2\geq 3xyz(x+y+z)$

پس حکم برقراره.

Dadgarnia · 1394/3/4

پاسخ : ماراتن جبر (سطح ممتاز)

m-saghaei گفت

بعد از مدتها سلام.

میایم به جای 3 های صورت سوال میذاریم

$a+b+c$

پس معادله با این:

$\prod (-a+b+c)\leq a^2b^2c^2$

(دوری)

بعد میایم دو طرف رو هم درجه میکنیم.پس چون درجه طرف راست 6ه تو طرف چپ یه

$(a+b+c)^3$

ضرب میکنیم و تو طرف راست یه 27 .

پس میشه این:

$(a+b+c)^3(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)\leq 27a^2b^2c^2$

حالا تغییر متغیر

$x=-a+b+c$

و ... رو انجام میدیم. و همچنین داریم که

$x+y+z=3$

و

$a=y+z/2$

و ... پس حکم میشه:

$64xyz(x+y+z)^3\leq 27(x+y)^2(y+z)^2(z+x)^2$

همچنین روابط روبرو رو هم از قبل داریم:

$9(x+y)(y+z)(z+x)\geq 8(x+y+z)(xy+yz+zx)$

و

$(xy+yz+zx)^2\geq 3xyz(x+y+z)$

پس حکم برقراره.

بسيار عالي! :113:سوال دارين بذارين يا خودم بذارم؟

m-saghaei · 1394/3/4

پاسخ : ماراتن جبر (سطح ممتاز)

Dadgarnia گفت

سوالی که در حد ممتاز باشه ندارم. لطفا خودتون زحمتشو بکشید.

m-saghaei · 1394/3/5

پاسخ : ماراتن جبر (سطح ممتاز)

سوال بعد:
تمام چندجمله ای های

$p(x)$

را بیابید که اگر برای تمام اعداد حقیقی

$x,y,z$

که هیچکدومشون صفر نیستن داشته باشیم

$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{z}$

اونوقت داشته باشیم:

$\frac{1}{p(x)}+\frac{1}{p(y)}=\frac{1}{p(z)}$

حمید آنالیز · 1394/3/5

پاسخ : ماراتن جبر (سطح ممتاز)

m-saghaei گفت

میشه بگین که ایا شرطی مبنی بر این که قرینه های اعداد با خودشونم برابر نباشن نداره؟؟
مثلا:x=-yکه zجوابش مبهم و بینهایت میاد که!:4:

m-saghaei · 1394/3/5

پاسخ : ماراتن جبر (سطح ممتاز)

حمید آنالیز گفت

سوال میگه اگه اون شرط برقرار باشه اون یکی شرط رو داریم. نمیگه که شرط اول همیشه برقراره!

حمید آنالیز · 1394/3/5

پاسخ : ماراتن جبر (سطح ممتاز)

m-saghaei گفت

اول ثایت میکنیم هیچ کدوم از x,y,zبا هم برابر نیستند
حالت اول اینه که zبا یکی ازxیاyبرابر باشه که مسلما در شرط اول صدق نمیکه پس نمیشه
حالت دوم اینه که x,yباهم برابر باشند که

$if x=y\rightarrow x=2z\rightarrow deg(p(x))=n\rightarrow 2p(2z)=p(z) \rightarrow 2.2^{n}=1\rightarrow n=\frac{1}{2}$

پس به تناقض میرسیم.
حال همه میدانیم با هم فرق دارند فرض میکنیم که شرط اول برقرار باشد پس

$p(z)=\frac{p(y)p(x)}{p(y)+p(x)}\rightarrow \sum a_{i}z^{i}=\frac{\sum a_{i}x^{i}.\sum a_iy^{i}}{\sum a_{i}x^{i}+\sum a_iy^{i}}\rightarrow \frac{1}{\sum x^i}+\frac{1}{\sum y^i}=\frac{1}{\sum z^i}$

حال عبارت اخری را با عبارت روی سوال که فرض کردیم برقراره همنهشت بگیریم نتیجه میشود کهi=1
پس جواب تمام چند جمله ای های درجه اول میشه
درسته؟

m-saghaei · 1394/3/5

پاسخ : ماراتن جبر (سطح ممتاز)

حمید آنالیز گفت

چرا ؟ اون که میشه

$p(2z)=2p(z)$

. بعدشم این چه جوری نتیجه شده:

$2^n^+^1=1\rightarrow n=\frac{1}{2}$

؟

حمید آنالیز · 1394/3/5

پاسخ : ماراتن جبر (سطح ممتاز)

m-saghaei گفت

اره راس میگی جوب زدم بد جور ولی بازم اگه دوتاشم با هم بربر باشن که درجه یک میشه دیگه
خوب بالاخره جواب اخر راسته؟

ماراتن جبر (سطح ممتاز)

New Member

New Member

New Member

New Member

New Member

New Member

New Member

New Member

New Member

New Member

Well-Known Member

New Member

New Member

New Member

New Member

Well-Known Member

New Member

Well-Known Member

New Member

Well-Known Member