ماراتن نامساوي

M_Sharifi · 1389/3/18

imo009 گفت

به بیان ساده، نابرابری همگن نابرابریه که درجه ی هر کدوم از جملاتش نسبت به متغیرها (در واقع همون مجموع درجات متغیرها) یکسان باشه. مثلا

$x^3-3xy^2+yz^2+xyz$

یه عبارت همگن بر حسب

$x,y,z$

هست. چون درجه ی هر کدوم از جملات برابر 3 هستش. همگن کردن نابرابری هم به این معنیه که با استفاده از شرط های مطرح شده در سوال، نابرابری رو همگن کنیم.
توی نابرابری های همگن، شما می تونید هر فرض همگنی مثل

$x+y+z=1$

و یا

$xy+yz+zx=3$

رو اضافه کنید. البته به شرطی که با شرط های قبلی مسئله تداخلی نداشته باشه.

mahanmath · 1389/3/18

in dige 2roste

$\120dpi \sum \frac{a^3}{(a+b)^3}\; \times \sum (ac+bc)^3 \geq (\sum \sqrt{a ^3c^3})^2$

: hala age ino sabet konim halle ,

$\120dpi 3\sum (ac+bc)^3 \leq 8\sum (\sqrt{a^3b^3})^2$

ke mitoonid zarb konid bebinid 2roste

Olympiad · 1389/3/18

مي دانيم :

$\sum_{cyc}\frac{a}{a+b}\geq \frac{3}{2}$

، اگر طرفين را به توان 3 برسانيم و..... به نامساوي زير مي رسيد:

$\prod (\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}) \leq 1$

كه فكر كنم با ضرب و طرفين وسطين و.... اثبات ميشه!!!!!!!!!!!!
اميدوارم اين ديگه درست باشه!!!!!!!!!!!!!!

mahanmath · 1389/3/18

Manam fekr mikardam oono midoonim vali nemidoonim

, GHALATE !!
yani hamishe bargharar nist.
In rahe jadide doroste (Mr.Sharifi taeed kardand) iiiii

M_Sharifi · 1389/3/18

mmath گفت

درسته. به نوع نابرابری کوشی که توی این سوال و سوال قبل به کار رفته خوب دقت کنید (به عبارتی که به عنوان پرانتز دوم ضرب کردیم) و تحلیل کنید که چرا باید کوشی رو این طوری به کارببریم. حالا بد نیست روی این نابرابری قوی تر هم فکر کنید که حکم مسئله رو نتیجه میده:
[center:dbd0b7aa80]

$\frac {a^2}{(a+b)^2}+\frac{b^2}{(b+c)^2}+\frac{c^2}{(c+a)^2}\geq\frac34$

[/center:dbd0b7aa80]اگه این نابرابری درسته، اثباتش کنید و اگه غلطه مثال نقض بیارید!

M_Sharifi · 1389/3/19

mmath گفت

با فرض

$x\geq y\geq z$

داریم

[center:28a395f2b5]

$x^{n-m}\geq y^{n-m}\geq z^{n-m}\\ ~~~~~\frac x{y+z}\geq\frac y{z+x}\geq\frac z{x+y}\\ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\vdots\\\\ ~~~~~\frac x{y+z}\geq\frac y{z+x}\geq\frac z{x+y}$

حالا اگه نابرابری جایگشتی رو برای این

$m+1$

دنباله به کار ببریم، نتیجه می گیریم

$3^m\sum\frac{x^n}{(y+z)^m}\geq\left(\sum x^{n-m}\right)\left(\sum\frac x{y+z}\right)^m\geq\left(\frac32\right)^m\sum x^{n-m}$

که از این جا حکم مسئله به دست میاد.

[/center:28a395f2b5]

M_Sharifi · 1389/3/19

[center:1717eb971d]

$\300dpi \huge 11$

برای اعداد حقیقی

$a,b,c,d$

که

$ac\ne0$

ثابت کنید

$\frac{\max\{|ac|,|ad+bc|,|bd|\}}{\max\{|a|,|b|\}\cdot\max\{|c|,|d|\}}\geq\frac{\sqrt5-1}2$

[/center:1717eb971d]

farid_frd · 1389/3/20

M_Sharifi گفت

imo009 گفت

به بیان ساده، نابرابری همگن نابرابریه که درجه ی هر کدوم از جملاتش نسبت به متغیرها (در واقع همون مجموع درجات متغیرها) یکسان باشه. مثلا

$x^3-3xy^2+yz^2+xyz$

یه عبارت همگن بر حسب

$x,y,z$

هست. چون درجه ی هر کدوم از جملات برابر 3 هستش. همگن کردن نابرابری هم به این معنیه که با استفاده از شرط های مطرح شده در سوال، نابرابری رو همگن کنیم.
توی نابرابری های همگن، شما می تونید هر فرض همگنی مثل

$x+y+z=1$

و یا

$xy+yz+zx=3$

رو اضافه کنید. البته به شرطی که با شرط های قبلی مسئله تداخلی نداشته باشه.

آقای شریفی اثباتش چه جوریه ؟

M_Sharifi · 1389/3/20

مثلا فرض کنید می خواهیم ثابت کنیم

$x^2+y^2+z^2\geq xy+yz+zx$

. این نابرابری رو میشه به صورت
[center:135f3299a7]

$\left(\frac x{x+y+z}\right)^2+\cdots\geq\frac x{x+y+z}\cdot\frac y{x+y+z}+\cdots$

[/center:135f3299a7]نوشت. حالا اگه فرض کنیم
[center:135f3299a7]

$u=\frac x{x+y+z},~v=\frac y{x+y+z},~w=\frac z{x+y+z}$

نابرابری به

$u^2+v^2+w^2\geq uv+vw+wu$

تبدیل میشه. ضمن این که این شرط اضافی رو هم داریم که

$u+v+w=1$

.

[/center:135f3299a7]

M_Sharifi · 1389/3/20

[center:ee146eae3f]

$\300dpi \huge 12$

[/center:ee146eae3f]
فرض کنید

$a,b,c$

اعدادی مثبت با مجموع 3 اند. ثابت کنید

[center:ee146eae3f]

$\frac1{2+a^2b^2}+\frac1{2+b^2c^2}+\frac1{2+c^2a^2}\geq1$

[/center:ee146eae3f]

M_Sharifi · 1389/3/22

راهنمایی سوال 12: جهت نابرابری رو برعکس کنید.

behrooz1373 · 1389/3/22

$\sum a^{2}b^{2}c^{4} + a^{4}b^{4}c^{4}\leq 4$

M_Sharifi · 1389/3/22

behrooz1373 گفت

راه حلتون رو کامل بنویسید.

farid_frd · 1389/3/22

M_Sharifi گفت

منظورتون فرض خلفه ؟

M_Sharifi · 1389/3/23

farid_frd گفت

نه. یعنی به یه نابرابری معادل برسیم منتها با جهت برعکس. به این صورت:

[center:600eddc8b4]

$\sum_{\textbf{cyc}}\frac1{2+a^2b^2}\geq1\iff\sum_{\textbf{cyc}}\frac{a^2b^2}{2+a^2b^2}\leq1$

داریم:

$\sum_{\textbf{cyc}}\frac{a^2b^2}{2+a^2b^2}\leq\sum\frac{a^2b^2}{3\root{3}\of{a^2b^2}}=\frac13\sum_{\textbf{cyc}} ab\root{3}\of{ab}\leq\frac19\sum_{\textbf{cyc}} ab(a+b+1)\\ =\frac19\sum_{\textbf{cyc}}ab(a+b)+\frac1{27}(a+b+c)(ab+bc+ca)=\frac1{27}\left(4\sum_{\textbf{cyc}}ab(a+b)+3abc\right)$

در نهایت با استفاده از نابرابری شور نتیجه می گیریم

$4\sum_{\textbf{cyc}}ab(a+b)+3abc\leq\sum_{\textbf{cyc}} a^3+3\sum_{\textbf{cyc}} ab(a+b)+6abc=(a+b+c)^3=27$

[/center:600eddc8b4]

M_Sharifi · 1389/3/23

[center:566983917d]

$\300dpi \huge 13$

فرض کنید

$a,b,c$

طول اضلاع مثلثی با محیط حداکثر

$2\pi$

اند. ثابت کنید

$\sin a,\sin b,\sin c$

نیز طول اضلاع یک مثلث اند.

[/center:566983917d]

mahanmath · 1389/3/23

[center:908abe4dc6]12 یه راه دیگه :[/center:908abe4dc6]

[center:908abe4dc6]

$\120dpi \sum \frac{a^2b^2}{2+a^2b^2} \leq \sum \frac{a^2b^2(a^2c^2 + b^2c^2 +1)}{(ab+ac+bc)^2}\leq 1$

[/center:908abe4dc6]

[center:908abe4dc6]

$\120dpi \Leftrightarrow 3\geq abc(a^2 + b^2 +c^2)\Leftrightarrow \frac{1}{ab}+\frac{1}{ac}+\frac{1}{bc}\geq a^2 +b^2 +c^2$

[/center:908abe4dc6]

[center:908abe4dc6]آخری هم درسته چون :[/center:908abe4dc6]

[center:908abe4dc6]

$\120dpi \inline 3^{4}abc(a+b+c)(a^{2}+b^{2}+c^{2})\le3^{3}(ab+bc+ca)^{2}(a^{2}+b^{2}+c^{2})\le\left((a+b+c)^{2}\right)^{3}=3^{6}$

[/center:908abe4dc6][center:908abe4dc6] [/center:908abe4dc6][center:908abe4dc6]این آخری از اون سوال TST Romania قوی تره چون طبق AM-GM داریم :[/center:908abe4dc6][center:908abe4dc6] [/center:908abe4dc6][center:908abe4dc6]

$\120dpi \sum \frac{1}{a^2}=\sum_{cyc}^{ } \frac{\frac{1}{a^2} +\frac{1}{b^2}}{2}\geq \sum \frac{1}{ab}$

[/center:908abe4dc6]

behrooz1373 · 1389/3/26

M_Sharifi گفت

یه راهنمایی می کنید

Aref · 1389/3/26

M_Sharifi گفت

داریم

$\frac{a}{\sin {a}}=\frac{b}{\sin{b}}=\frac{c}{\sin{c}}$

و

$\frac{a}{c}+\frac{b}{c}>1;\frac{b}{a}+\frac{c}{a}>1;\frac{a}{b}+\frac{c}{b}>1\Leftrightarrow \frac{\sin{a}}{\sin{c}}+\frac{\sin{b}}{\sin{c}}>1; \frac{\sin{b}}{\sin{a}}+\frac{\sin{c}}{\sin{a}}>1; \frac{\sin{c}}{\sin{b}}+\frac{\sin{a}}{\sin{b}}>1;$

که درستی حکم را نتیجه میدهد.

M_Sharifi · 1389/3/27

Aref گفت

غلطه. گفته

$\sin a,\sin b,\sin c$

نه این که

$\sin A,\sin B,\sin C$

.

ماراتن نامساوي

آيا شما مايل به راه افتادن تاپيك ماراتن نامساوي مي باشي

بله

خير

راهبر ریاضی

New Member

New Member

New Member

راهبر ریاضی

راهبر ریاضی

راهبر ریاضی

New Member

راهبر ریاضی

راهبر ریاضی

راهبر ریاضی

New Member

راهبر ریاضی

New Member

راهبر ریاضی

راهبر ریاضی

New Member

New Member

New Member

راهبر ریاضی