ماراتن نامساوي

mahanmath · 1389/3/9

M_Sharifi گفت

اگه تو مخرج به جای 1 باشه k باشه میشه تو (ب) به جای 3 , 3k گذاشت . درسته ؟

M_Sharifi · 1389/3/9

mmath گفت

حلت رو بنویس.

mohammad2004 · 1389/3/10

آقای شریفی حق با شماست. تو سمت چپ استفاده کردم. اما سمت راست واضحه که + , - بودنشون مهم نیست.
راستی واسه اون سوالی که آخرشو با vasile حل کرده بودم یه راه ساده ترم پیدا کردم

آخرش باید ثابت میکردیم :

سمت راستو اینطوری مینویسیم و میانگین میزنیم :

و بقیش که واضحه.

M_Sharifi · 1389/3/10

mohammad2004 گفت

درسته. هر چند که توی اثبات سمت راست هم از مثبت بودن متغیرها ظاهرا استفاده کردی. چون طرفین وسطین انجام دادی، که درست نیست. به هر حال با راه حل اولت از 7 میشی حداکثر 2.

Olympiad · 1389/3/10

كافي است ثابت كنيم :

$a+b+c\leq 3$

ابتدا فرض مي كنيم

$a,b,c> 1$

.
طبق قسمت الف داريم :

$a+b+c\geq ab+ac+bc$

اما بنابر فرض اوليه داريم :

$ab> a,bc> b,ac> c\Rightarrow ab+ac+bc> a+b+c$

بنابراين فرض اوليه غلط بوده يعني داريم :

$a,b,c\leq 1$

بنابراين داريم :

$a+b+c\leq 3$

و حكم اثبات مي شود....
غلطه ، نه؟!

fereidoon · 1389/3/10

فکر کنم با T2 هم بشه این حکم رو ثابت کرد.(لطفا اگه غلط می گم بگین)

mahanmath · 1389/3/10

Olympiad گفت

بله !! چون فقط میشه گفت حداقل یکیشون از یک کوچکتره .

3<

$b=c=\frac{\sqrt{13}-3}{2} , a=4 \Rightarrow a+b+c$

M_Sharifi · 1389/3/10

fereidoon گفت

شاید حل بشه. اگه حل شده، بنویس.

IMO · 1389/3/10

fereidoon گفت

منظورتون از T2 چيه!؟

farid_frd · 1389/3/11

لم T2 :
با همون شرط های کوشی :

$\sum_{i=1}^{n}\frac{x_{i}^{2}}{a_{i}}\geq \frac{(\sum_{i=1}^{n}x_{i})^{2}}{\sum_{i=1}^{n}a_{i}}$

farid_frd · 1389/3/11

آیا این هم درسته ؟

$\sum_{i=1}^{n}\frac{x_{i}^{3}}{a_{i}^{2}}\geq \frac{(\sum_{i=1}^{n}x_{i})^{3}}{(\sum_{i=1}^{n}a_{i})^{2}}$

farid_frd · 1389/3/11

حالا که هیشکی 5-ب رو حل نمیکنه یه سوال میذارم :
[center:7db9ee563c]

$\300dpi \LARGE 6$

[/center:7db9ee563c]
اگر

$a_{i}>0(1\leq i\leq n),\sum_{i=1}^{n}a_{i}=1$

ثابت کنید :

$(\sum_{i=1}^{n}a_{i}a_{i+1})(\sum_{i=1}^{n}\frac{a_{i}}{a_{i+1}^{2}+a_{i+1}})\geq \frac{n}{n+1}$

Olympiad · 1389/3/12

farid_frd گفت

مطمئني سوال درسته ؟؟؟؟ چون پرانتز دوم

$a_{n+1}$

هم هست؟؟؟؟؟؟؟ براي

$a_{n+1}$

چه شرطي هست؟؟؟؟

Olympiad · 1389/3/12

farid_frd گفت

بله، اين همون هولدر 3 تايي هست.....

farid_frd · 1389/3/12

Olympiad گفت

farid_frd گفت

مطمئني سوال درسته ؟؟؟؟ چون پرانتز دوم

$a_{n+1}$

هم هست؟؟؟؟؟؟؟ براي

$a_{n+1}$

چه شرطي هست؟؟؟؟

تو اکثر سوالا

$a_{n+1}=a_{1}$

farid_frd · 1389/3/12

Olympiad گفت

پس اینم یه راه دیگه واسه سوال 1

Olympiad · 1389/3/12

فرض مي كنيم :

$(\sum_{i=1}^{n}a_ia_{i+1})(\sum_{i=1}^{n}\frac{a_i}{a_{i+1}^2+a_{i+1}})=p$

طبق نابرابري هولدر داريم :

$p(\sum_{i=1}^{n}a_i(a_{i+1}+1))\geq (\sum_{i=1}^{n}a_i)^3=1$

پس حكم ما به

$\sum_{i=1}^{n}a_ia_{i+1}\leq \frac{1}{n}$

تبديل مي شود.....
من اينو نتونستم اثبات كنم .........يا غلطه يا .......
حالا چجوري بايد اينو ثابت كنيم؟؟؟؟؟؟؟

mohammad2004 · 1389/3/12

این نابرابری آخر که بهش رسیدی واسه n >= 5 غلطه. واسه n= 1 , 2 , 3 , 4 هم درسته. حالت n=4 باحال بود اثباتش

.
مثال نقض برای بقیه هم a_1 = 1/2 , a_2 = 2/5 , بقیه هم مساوی. همین جمله اول از سمت راست بیشتر میشه.

Olympiad · 1389/3/12

mohammad2004 گفت

مجموع a-i ها يك هست ها.......

M_Sharifi · 1389/3/12

farid_frd گفت

دو بار استفاده از نابرابری کوشی-شوارتز:

[center:1999ccd79b]

$\left(\sum a_ia_{i+1}\right)\left(\sum\frac{a_i}{a_{i+1}^2+a_{i+1}}\right)\geq\frac{(\sum a_i)^2}{\sum\frac{a_i}{a_{i+1}}}\cdot\frac{(\sum \frac{a_i}{a_{i+1}})^2}{\sum \frac{a_i(a_{i+1}^2+a_{i+1})}{a_{i+1}^2}}\\ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~=\frac{\sum \frac{a_i}{a_{i+1}}}{1+\sum\frac{a_i}{a_{i+1}}}\geq\frac n{n+1}$

[/center:1999ccd79b]

ماراتن نامساوي

آيا شما مايل به راه افتادن تاپيك ماراتن نامساوي مي باشي

بله

خير

New Member

راهبر ریاضی

New Member

راهبر ریاضی

New Member

Active Member

New Member

راهبر ریاضی

New Member

New Member

New Member

New Member

New Member

New Member

New Member

New Member

New Member

New Member

New Member

راهبر ریاضی