ماراتن نظریه ی اعداد (سطح پیشرفته)

Dadgarnia · 1393/8/6

پاسخ : ماراتن نظریه ی اعداد (سطح پیشرفته)

يه راه ساده تر هم من براش دارم:
اگه

$n>3$

باشه داريم:

$\sum_{i=0}^{n}i!|n\sum_{i=1}^{n}i!,\sum_{i=1}^{n}i!|(n+1)!=n(n-1)!+n\cdot n!\Rightarrow \sum_{i=1}^{n}i!|n\sum_{i=1}^{n-2}i!$

$\Rightarrow n!\leq (n-1)\sum_{i=1}^{n-3}i!< (n-1)!$

كه تناقضه.

---- دو نوشته به هم متصل شده است ----

فرض مي كنيم

$p>q$

باشه. داريم:

$p^p+q^q+1\equiv 0 \pmod{p}\Rightarrow q^q\equiv -1 \pmod{p}\Rightarrow q^{2q}\equiv 1 \pmod{p}$

$\Rightarrow ord_pq|2q$

پس ٤ حالت مختلف براي

$ord_pq$

وجود داره كه دو حالت به سادگي رد ميشه. در دو حالت ديگه داريم:

$ord_pq=2\Rightarrow q^2\equiv 1\pmod{p}\Rightarrow q\equiv -1\pmod{p}\Rightarrow p=3,q=2$

پس در اين حالت جوابي وجود نداره. در حالت بعدي داريم:

$ord_pq=2q\Rightarrow 2q|p-1\Rightarrow p=2kq+1\Rightarrow q|(2kq+1)^{2kq+1}+1\Rightarrow q=2,p=5$

پس تنها جواب سوال همينه.

---- دو نوشته به هم متصل شده است ----

سوال بعد:
معادله ي

$2^x-5=11^y$

را در مجموعه ي اعداد صحيح مثبت حل كنيد.

math1998 · 1393/8/7

پاسخ : ماراتن نظریه ی اعداد (سطح پیشرفته)

Dadgarnia گفت

$2^x\equiv 11(mod 5)\Rightarrow 2^x\equiv 1(mod5)\Rightarrow d=4\Rightarrow x=4k$

$16^k=11^y+5$

اگر

$k=1\Rightarrow y=1$

پس فرض میکنیم

$k\geq 2$

$11^y\equiv -5 (mod 32)$

که به راحتی میشه چک کرد که جواب نداره!!!

Dadgarnia · 1393/8/9

پاسخ : ماراتن نظریه ی اعداد (سطح پیشرفته)

سوال بعد:
همه ی اعداد طبیعی

$k\geq 3$

را بیابید به طوریکه اعداد طبیعی

$m, n$

وجود داشته باشند که

$1<m<k,1<n<k,\gcd(m,k)=\gcd(n,k)=1,m+n>k$

و

$k|(m-1)(n-1)$

Dadgarnia · 1393/8/19

پاسخ : ماراتن نظریه ی اعداد (سطح پیشرفته)

Dadgarnia گفت

جواب سوال: AoPS Forum - find all k • Art of Problem Solving

Dadgarnia · 1393/8/23

پاسخ : ماراتن نظریه ی اعداد (سطح پیشرفته)

سوال بعد:
ثابت کنید عددی طبیعی مانند

$n$

وجود ندارد که اعداد

$2n^2+1,3n^2+1,6n^2+1$

مربع کامل باشند.

MGH000 · 1393/8/23

پاسخ : ماراتن نظریه ی اعداد (سطح پیشرفته)

فرض خلف میگیریم فرض میکنیم هر سه همزمان مربع کامل باشند:

$(2n^{2}+1)(3n^{2}+1)=n^{2}(6n^{2}+1)+(4n^{2}+1)\Rightarrow S^{2}=M^{2}+(4n^{2}+1)$

$\Rightarrow 4n^{2}+1\geq 2M+1\Rightarrow 4n^{2}+1\geq 2\sqrt{n^{2}(6n^{2}+1)}$

$\Rightarrow 4n^{2}\geq 2n\sqrt{(6n^{2}+1)}\Rightarrow 2n^{2}+1\leq 0$

ک ب وضوح تناقض است.

AHZolfaghari · 1393/8/23

پاسخ : ماراتن نظریه ی اعداد (سطح پیشرفته)

MGH000 گفت

یه اشتباه تایپی تو خط اولت نوشتی . کنار 6n^2 + 1 باید یه n^2 بنویسی .
سوال بعد رو هم بذار !

MGH000 · 1393/8/23

پاسخ : ماراتن نظریه ی اعداد (سطح پیشرفته)

سوال بعد:

$a_{i}$

ها جایگشتی از اعداد 1 تا n اند.تمام nهای فرد و بزرگتر از 1 را بیابید ک:

$(a_{n+1}=a_{1})$

$\forall 1\leq k\leq n: n|a_{k}^{2}-a_{k+1}+1 ;or; n|a_{k}^{2}-a_{k+1}-1$

---- دو نوشته به هم متصل شده است ----

AHZolfaghari گفت

ممنون اصلاح شد

Dadgarnia · 1393/8/24

پاسخ : ماراتن نظریه ی اعداد (سطح پیشرفته)

MGH000 گفت

اگه فرض كنيم تعداد اونايي كه

$n|a_k^2-a_{k+1}+1$

، m تا باشه و تمام روابط رو با هم جمع كنيم بدست مياد:

$n|\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}-\frac{n(n+1)}{2}+2m-n=\frac{n(n^2-1)}{3}+2m-n$

در حالت اول فرض مي كنيم n بر ٣ بخشپذير نباشه. پس داريم:

$n|2m$

پس m برابر با صفر يا n هست. فرض مي كنيم m برابر با n باشه (حالت m=0 مشابه است). پس براي هر

$1\leq k\leq n$

داريم

$n|a_k^2-a_{k+1}+1$

. فرض مي كنيم

$a_i=n$

پس داريم:

$n|a_{i-1}^2-n+1\Rightarrow n|a_{i-1}^2+1$

(توجه كنيد كه

$a_0=a_n$

) اگر اين رابطه برقرار باشد بايد داشته باشيم:

$a_j=n-a_{i-1}\Rightarrow n|(n-a_{i-1})^2+1=a_j^2+1$

$\Rightarrow n|a_j^2-a_{j+1}+1\Rightarrow n|a_{j+1}\Rightarrow a_{j+1}=n=a_i\Rightarrow a_j=a_{i-1}$

اما با توجه به فرد بودن n اين رابطه نمي تواند برقرار باشد. پس در اين حالت جوابي وجود ندارد. حالا فرض مي كنيم

$n=3\ell$

و تعداد اونايي كه

$3\ell|a_k^2-a_{k+1}+1$

، p تا باشه. مثل قبل مي تونيم بدست بياريم

$\ell|2p$

. با توجه به حالت قبل مي دونيم كه p نمي تونه صفر و

$3\ell$

باشه پس فرض مي كنيم

$p=\ell$

باشه (حالت ديگه مشابه است). پس به ازاي

$2\ell$

تا k داريم:

$3\ell|a_k^2-a_{k+1}+1$

اما مي دونيم كه به ازاي هيچكدوم از اين k ها

$a_{k+1}$

نمي تونه باقي مانده ي صفر بر ٣ داشته باشه. پس اگه داشته باشيم

$a_i=3\ell$

اون وقت بايد داشته باشيم:

$3\ell|a_{i-1}^2-1$

پس مي تونيم مثل قبل نتيجه بگيريم كه چنين n اي وجود نداره.

AHZolfaghari · 1393/8/25

پاسخ : ماراتن نظریه ی اعداد (سطح پیشرفته)

Dadgarnia گفت

اگه فرض كنيم تعداد اونايي كه

$n|a_k^2-a_{k+1}+1$

، m تا باشه و تمام روابط رو با هم جمع كنيم بدست مياد:

$n|\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}-\frac{n(n+1)}{2}+2m-n=\frac{n(n^2-1)}{3}+2m-n$

در حالت اول فرض مي كنيم n بر ٣ بخشپذير نباشه. پس داريم:

$n|2m$

پس m برابر با صفر يا n هست. فرض مي كنيم m برابر با n باشه (حالت m=0 مشابه است). پس براي هر

$1\leq k\leq n$

داريم

$n|a_k^2-a_{k+1}+1$

. فرض مي كنيم

$a_i=n$

پس داريم:

$n|a_{i-1}^2-n+1\Rightarrow n|a_{i-1}^2+1$

(توجه كنيد كه

$a_0=a_n$

) اگر اين رابطه برقرار باشد بايد داشته باشيم:

$a_j=n-a_{i-1}\Rightarrow n|(n-a_{i-1})^2+1=a_j^2+1$

$\Rightarrow n|a_j^2-a_{j+1}+1\Rightarrow n|a_{j+1}\Rightarrow a_{j+1}=n=a_i\Rightarrow a_j=a_{i-1}$

اما با توجه به فرد بودن n اين رابطه نمي تواند برقرار باشد. پس در اين حالت جوابي وجود ندارد. حالا فرض مي كنيم

$n=3\ell$

و تعداد اونايي كه

$3\ell|a_k^2-a_{k+1}+1$

، p تا باشه. مثل قبل مي تونيم بدست بياريم

$\ell|2p$

. با توجه به حالت قبل مي دونيم كه p نمي تونه صفر و

$3\ell$

باشه پس فرض مي كنيم

$p=\ell$

باشه (حالت ديگه مشابه است). پس به ازاي

$2\ell$

تا k داريم:

$3\ell|a_k^2-a_{k+1}+1$

اما مي دونيم كه به ازاي هيچكدوم از اين k ها

$a_{k+1}$

نمي تونه باقي مانده ي صفر بر ٣ داشته باشه. پس اگه داشته باشيم

$a_i=3\ell$

اون وقت بايد داشته باشيم:

$3\ell|a_{i-1}^2-1$

پس مي تونيم مثل قبل نتيجه بگيريم كه چنين n اي وجود نداره.

اما n=3 یه جوابه برای این سوال

Dadgarnia · 1393/9/15

پاسخ : ماراتن نظریه ی اعداد (سطح پیشرفته)

سوال بعد (البته بهتر بود اين سوالو توي ممتاز ميذاشتم ولي سوال خيلي خوبيه!):
تمام زوج

$(m,n)$

هاي طبيعي را بيابيد به طوريكه داشته باشيم

$m^6=n^{n+1}+n-1$

.

m-saghaei · 1393/9/17

پاسخ : ماراتن نظریه ی اعداد (سطح پیشرفته)

Dadgarnia گفت

خوب این عبارت سمت چپ به ازای n های بزرگتر از یک مربع کامل نیست اصلا.بین دوتا مربع کامل متوالی میفته
چون:

$(n^\frac{n+1}{2})^2< n^n^+^1+n-1< (n^\frac{n+1}{2}+1)^2$

پس تنها جوابش اینه که n=1 باشه که از اینم درمیاد m=1
پس تنها جواب m=n=1 هه!

Dadgarnia · 1393/9/17

پاسخ : ماراتن نظریه ی اعداد (سطح پیشرفته)

m-saghaei گفت

نه اشتباه كردين اون عبارت سمت چپ

$n^{2n+2}$

ميشه كه به ازاي بينهايت n از

$n^{n+1}+n-1$

بزرگتره!

math1998 · 1393/9/17

پاسخ : ماراتن نظریه ی اعداد (سطح پیشرفته)

m-saghaei گفت

تنها در صورتی که n فرد باشه راه حل بالا درسته چرا که

$(n^{\frac{n+1}{2}})^2< n^{n+1}+n-1< (n^{\frac{n+1}{2}}+1)^2$

m-saghaei · 1393/9/17

پاسخ : ماراتن نظریه ی اعداد (سطح پیشرفته)

Dadgarnia گفت

نه اشتباه تایپ کردم.اونی که جناب math1998 فرمودن منظورم بود!!!
مخرج 2 رو یادم رفت بزارم!
.
درستش کردم.

Dadgarnia · 1393/9/17

پاسخ : ماراتن نظریه ی اعداد (سطح پیشرفته)

m-saghaei گفت

چون ننوشته بودين اين رابطه فقط براي n هاي فرد غير از يك درسته اينجوري فكر كردم ولي اثبات براي n هاي زوج هنوز مونده!

REZA 73 · 1393/9/17

پاسخ : ماراتن نظریه ی اعداد (سطح پیشرفته)

Dadgarnia گفت

چیز هایی که من بهش رسیدم، به درد میخورن؟
n زوجه و فقط یه عامل دو میتونه داشته باشه
n به هنگ سه برابر 1 است
n نمیتونه عامل اولی به فرم4k+3 داشته باشه

Dadgarnia · 1393/9/17

پاسخ : ماراتن نظریه ی اعداد (سطح پیشرفته)

REZA 73 گفت

خب از همينجا مي تونين نتيجه بگيرين n به شكل

$6k+4$

هست و به چيز هاي خوبي برسين!

REZA 73 · 1393/9/17

پاسخ : ماراتن نظریه ی اعداد (سطح پیشرفته)

Dadgarnia گفت

واضح نیست اگه ممکنه بیشتر توضیح بدید

Dadgarnia · 1393/9/17

پاسخ : ماراتن نظریه ی اعداد (سطح پیشرفته)

REZA 73 گفت

اگه بيشتر راهنمايي كنم خيلي راحت ميشه ولي با استفاده از اينكه n به شكل

$6k+4$

هست

$n^{n+1}+n-1$

رو تجزيه كنيد.

ماراتن نظریه ی اعداد (سطح پیشرفته)

New Member

New Member

New Member

New Member

New Member

New Member

Well-Known Member

New Member

New Member

Well-Known Member

New Member

New Member

New Member

New Member

New Member

New Member

Active Member

New Member

Active Member

New Member