ماراتن نظریه اعداد (سطح مقدماتی)

REZA 73 · 1393/10/21

پاسخ : ماراتن نظریه اعداد (سطح مقدماتی)

AHZolfaghari گفت

a را طوری فرض کنید که ریشه اولیه به هنگ q یا p باشه:

$3pq|a^{3pq-1}-1\Rightarrow p-1|3pq-1 ,q-1|3pq-1$

$\Rightarrow p-1|3q-1 , q-1|3p-1$

حال حالت بندی میکنیم

$p=q$

که راحت به تناقض میرسه.
حالت بعدی

$q> p\Rightarrow \frac{3p-1}{q-1}< 3\Rightarrow 2q-2=3p-1\Rightarrow 3q=4.5p+1.5\Rightarrow p-1|\frac{9p+1}{2}$

$2p-2|9p+1\Rightarrow p=11 , 3$

حالت p=3 به تناقض میرسه به راحتی پس جواب میشه 11و 17

Dadgarnia · 1393/10/21

پاسخ : ماراتن نظریه اعداد (سطح مقدماتی)

REZA 73 گفت

شما گفتین a رو طوری می گیریم که ریشه ی اولیه به پیمانه ی p یا q باشه مثلا اگه a ریشه ی اولیه به پیمانه ی p باشه اونوقت لزومی نداره که

$q-1|3pq-1$

.

REZA 73 · 1393/10/21

پاسخ : ماراتن نظریه اعداد (سطح مقدماتی)

Dadgarnia گفت

خب یک a میگیریم ریشه اولیه p باشه و بعد یک a دیگر که ریشه اولیه q. باشه،طبق صورت سوال باید واسه هر a. درست باشه دیگه، فک نکنم مشکلی داشته باشه به هر حال اگه باز هم نکته ای هست بگید

Dadgarnia · 1393/10/21

پاسخ : ماراتن نظریه اعداد (سطح مقدماتی)

سوال بعد:
اگر

$p$

عددی اول باشد و

$\sum_{i=1}^{p-1}\frac{1}{i^p}=\frac{m}{n}$

ثابت کنید

$p^3|m$

.

محمد 628 · 1393/10/23

پاسخ : ماراتن نظریه اعداد (سطح مقدماتی)

107 جواب مسیله هست راه حلشو خودتون پیدا کنین.من که از راه حل آزمون و خطا رفتم.107 جواب سوال خودمه که چند صفحه قبل نوشتم

$2^n-3$

بر n بخشپذیر است. کوچکترین n>100 را پیدا کنید.

Dadgarnia · 1393/10/23

پاسخ : ماراتن نظریه اعداد (سطح مقدماتی)

محمد 628 گفت

این جواب غلطه چون با استفاده از قضیه ی اویلر داریم:

$2^{107}\equiv 2\not \equiv 3\pmod{107}$

مطمئن باشید که تنها راهش آزمون و خطاست.

محمد 628 · 1393/10/23

پاسخ : ماراتن نظریه اعداد (سطح مقدماتی)

با ماشین حساب زدم چرا اشتباه بشه؟الآن قضیه شو دیدم اگر دو طرف قضیه اش رو در p ضرب کنیم همینی میشه که تو میگی.ولی نمیدونم چرا ماشین حساب اشتباه در آورده.

m-saghaei · 1393/10/23

پاسخ : ماراتن نظریه اعداد (سطح مقدماتی)

محمد 628 گفت

منم تو ولفرم زدم 107 نمیشه.تا 215 رو زدم اصلا جواب نداشت!:4:

اصلا یه سوال دارم.مگه همچین اتفاقی امکان داره بیفته؟مگه نداریم

$2^n-3\equiv 2-3\equiv -1 (mod n)$

؟ خوب این که امکان نداره! مگه اینکه

$n|1$

!

Dadgarnia · 1393/10/23

پاسخ : ماراتن نظریه اعداد (سطح مقدماتی)

m-saghaei گفت

اون رابطه فقط به ازاي اعداد اول و يك درسته مثلا اگه به جاي n بذاريم چهار مي بينيم كه اون رابطه برقرار نيست.

محمد 628 · 1393/10/23

پاسخ : ماراتن نظریه اعداد (سطح مقدماتی)

اصل قضیش در مورد دو عدد که نسبت به هم اول باشن هست
قضیه اویلر یا قضیه اولر: فرض کنید m عددی طبیعی و a عددی صحیح باشد و داشته باشیم ۱=(a،m). در این صورت:

که

برابر تعداد اعداد کوچکتر از m است که نسبت به آن اول هستند (همان تعداد اعضاء دستگاه مخفف مانده ها)
که اگر دو طرف همنهشتی رو به ازای عدد اول و 2 در 2 ضرب کنیم میبینیم که به ازای اعداد اول جواب نداره.
یه راه حل طولانی داره این جور سوالا که یه 10 ساعتی وقت میگیره منم حالشو ندارم.باید حساب کنی بخشپذیری عدد

$2^n-3$

رو بر اعداد اول حساب کنیم ببینیم که به ازای چه n هایی اون عدد بر اون عدد اول بخشپذیر میشه.مثلا به ازای n=4k-1

$2^n-3$

بر 5 بخشپذیره.حالا برای این که n هم بر 5 بخشپذیر باشه باید n=5m باشه پس nباید به مود 20 بشه15 همین جوری بخشپذیری شو بر اعداد اول حساب میکنیم و باز همین جوری ادامه میدیم تا به جواب برسیم.من برای

$2^n-2$

که بر nبخشپذیر باشه این کارو کردم جواب داد ولی 10 ساعتی الاف شدم.

Dadgarnia · 1393/10/23

پاسخ : ماراتن نظریه اعداد (سطح مقدماتی)

محمد 628 گفت

مگه كسي چيزي غير از اين گفت؟ دوستان لطفا از موضوع اصلي ماراتن خارج نشين. من سوال بعد رو دوباره ميذارم:
اگر

$p$

عددی اول باشد و

$\sum_{i=1}^{p-1}\frac{1}{i^p}=\frac{m}{n}$

ثابت کنید

$p^3|m$

.

Dadgarnia · 1393/10/30

پاسخ : ماراتن نظریه اعداد (سطح مقدماتی)

Dadgarnia گفت

مثل اینکه من خودم باید سوال بذارمو دوباره خودم حل کنم! :4: دوستان لطفا کمک کنید تا ماراتن ها دوباره مثل قبل بشه. [MENTION=16947]TheOverlord[/MENTION] [MENTION=14921]aras2213[/MENTION] [MENTION=14457]AHZolfaghari[/MENTION]
فقط اینکه خودمم زیاد به راه حلم اطمینان ندارم اگه اشکالی داشت لطفا بگید.
با استفاده از قضیه ی اویلر داریم:

$\sum_{i=1}^{p-1}\frac{1}{i^p}\equiv \sum_{i=1}^{p-1}i^{p(p^2-p-1)}\equiv \sum_{i=1}^{\frac{p-1}{2}}(i^{p(p^2-p-1)}+(p-i)^{p(p^2-p-1)})$

$\equiv \sum_{i=1}^{\frac{p-1}{2}}p^2(p(p^2-p-2)+1)i^{p(p^2-p-1)-1}\pmod {p^3}$

پس برای نشان دادن حکم باید ثابت کنیم:

$\sum_{i=1}^{\frac{p-1}{2}}i^{p(p^2-p-1)-1}\equiv 0\pmod p\Rightarrow \sum_{i=1}^{\frac{p-1}{2}}\frac{1}{i^2}\equiv 0\pmod p$

حالا دقت کنید که

$\frac{1}{i^2}\equiv \frac{1}{j^2}\pmod p\Leftrightarrow i=j$

برای

$1\leq i,j\leq \frac{p-1}{2}$

پس

$\left (\frac{\frac{1}{i^2}}{p} \right )=1$

و از آنجا که

$\left ( \frac{i^2}{p} \right )=1$

برای

$1\leq i\leq \frac{p-1}{2}$

داریم:

$\sum_{i=1}^{\frac{p-1}{2}}\frac{1}{i^2}\equiv \sum_{i=1}^{\frac{p-1}{2}}i^2\equiv \frac{p(p-1)(p+1)}{24}\equiv 0\pmod p$

که رابطه ی آخر برای این درسته که

$p>3$

3"> (اینو تو سوال یادم رفته بود بگم! :4

---- دو نوشته به هم متصل شده است ----

سوال بعد:
همه ی اعداد صحیح

$a,m,n$

را بیابید که

$a^m+1|a^n+203$

و

$a,m>1$

1">.

REZA 73 · 1393/11/1

پاسخ : ماراتن نظریه اعداد (سطح مقدماتی)

این راه حل کامل نیس بلکه شمای کلی راه حل منه. ممکنه جوب داشته باشه ولی میذارم تاپیک جون بگیره!

$a^m+1|a^n+203 , n=mk+b ,b< m$

$\Rightarrow a^m+1|(-1)^{k}a^b+203\Rightarrow \left | (-1)^{k}a^b+203 \right |\geq a^m+1$

حالا دو حالت در نظر میگیریم.
حالت اول

$m\geq 4$

در این حالت با توجه به نامساوی بالا به راحتی نتیجه میشه که

$a\leq 4$

. حالا به راحتی میشه جوابها رو پیدا کرد.

حالت دوم

$m\leq 3$

.
در این حالت هم راحت میشه حالت ها رو برسی کرد مثلا m=2:

$a^2+1|202$

یا حالت های زیر:

$a^2+1|204$

$a^2+1|a+203$

$a^2+1|-a+203$

تمام این نکات برای وقتی که a منفی هم باشه درسته. فقط از صورت سوال متوجه نشدم چی صحیحه چی طبیعیه!!!

---- دو نوشته به هم متصل شده است ----

Dadgarnia گفت

میشه بیشتر توضیح بدید،الان تکلیف m و n چی شده؟از لم خاصی استفاده کردین؟:92:

Dadgarnia · 1393/11/1

پاسخ : ماراتن نظریه اعداد (سطح مقدماتی)

REZA 73 گفت

بله میشه! :4: لطفا بگین دقیقا کجاشو نفهمیدین تا توضیح بدم.
فکر می کنم به این کاری که من اینجا کردم میگن FTL البته اصلا مطمئن نیستم و دوستانی که در پست قبل ازشون یاد کردم بهتر می تونن توضیح بدن ولی اگه بخوام یه جور دیگه بگم برای اون اولش در نظر بگیرین

$n=\sum_{i=1}^{p-1}\frac{(p-1)!}{i^p}$

حالا داریم:

$n\equiv (p-1)!\sum_{i=1}^{p-1}i^{p(p^2-p-1)}\equiv \sum_{i=1}^{p-1}i^{p(p^2-p-1)}\pmod{p^3}$

پس دیدین که فرقی نمی کنه و همون رابطه ی قبل بدست میاد.

REZA 73 · 1393/11/1

پاسخ : ماراتن نظریه اعداد (سطح مقدماتی)

Dadgarnia گفت

اول این که نباید به جای n مینوشتین m؟
نباید همون جا! (p-1) توان p داشته باشه؟؟ تو خط آخر هم اون p-1 فاکتوریل چطوری به پیمانه p^3 ساده شده؟؟؟؟

Dadgarnia · 1393/11/1

پاسخ : ماراتن نظریه اعداد (سطح مقدماتی)

REZA 73 گفت

اوه چقدر بد نوشتم! :4: بله در تمام موارد بالا حق با شماست. آخرشم اينجوريه:

$((p-1)!)^p\sum_{i=1}^{p-1}i^{p(p^2-p-1)}\equiv 0\pmod {p^3}\Leftrightarrow \sum_{i=1}^{p-1}i^{p(p^2-p-1)}\equiv 0\pmod {p^3}$

sepidfekr · 1393/11/1

پاسخ : ماراتن نظریه اعداد (سطح مقدماتی)

سوال بعد :
تمام p , q های اول را بیابید

$p\mid 2^{q-1}+1 , q\mid 2^{p-1}+1$

یه خواهش از همکلاسی های عزیزم چون با هم حل کردیم بزارید بچه ها روش فکر کنن!!!

Dadgarnia · 1393/11/11

پاسخ : ماراتن نظریه اعداد (سطح مقدماتی)

sepidfekr گفت

از زمان گذاشتن این سوال بیشتر از یه هفته گذشته پس لطفا یه راهنمایی براش بذارین!

sepidfekr · 1393/11/11

پاسخ : ماراتن نظریه اعداد (سطح مقدماتی)

Dadgarnia گفت

به کمک مرتبه حل میشه
دو حالت در نظر بگیرید

$p=3$

,

$p\neq 3$

بعد نتیجه میده p عاد نمیکنه

$5^p-2^p$

بعد هم بدست میاد

$p\mid 5^q-2^q$

بعد هم دیگه من چیزی نمیگم تا خودتون پیدا کنید!!!:4:

TheOverlord · 1393/11/12

پاسخ : ماراتن نظریه اعداد (سطح مقدماتی)

$p|2^{2(q-1)}-1, p\not | 2^{q-1}-1 \Rightarrow ||2(q-1)||_2=||ord^2_p||\leq ||p-1||_2$

پس به طريق مشابه

$||(q-1)||_2<||p-1||_2 , ||p-1||_2<||q-1||_2$

كه تناقض است.

---- دو نوشته به هم متصل شده است ----

همه توابع يك به يك

$f:\mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}$

را بيابيد كه در دو شرط زير صدق كنند

$(i) \ (m,n)=1\Leftrightarrow (f(m),f(n))=1$

$(ii) \ \forall m\not=n :(f(m),f(n))|(m,n)$

ماراتن نظریه اعداد (سطح مقدماتی)

Active Member

New Member

Active Member

New Member

New Member

New Member

New Member

New Member

New Member

New Member

New Member

New Member

Active Member

New Member

Active Member

New Member

New Member

New Member

New Member

New Member