ماراتن نامساوي

M_Sharifi · 1389/3/12

[center:bcc1acaceb]

$\300dpi \huge 7$

[/center:bcc1acaceb]فرض کنید

$a,b,c$

طول اضلاع یک مثلث اند. نشان دهید

[center:bcc1acaceb]

$\sqrt{3(\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca})}\geq\sqrt{a+b-c}+\sqrt{b+c-a}+\sqrt{c+a-b}$

[/center:bcc1acaceb]

mohammad2004 · 1389/3/12

Olympiad گفت

خوب دیگه. جمع a_1 , a_2 از 1 کمتره. بقیه رو هم بذار 1 منهای a_1 منهای a_2 تقسیم بر n-2

Olympiad · 1389/3/14

سلام......
من نمي دونم چرا اينجوري ميشه ؟!!!!
با توجه به فرض مسئله كه اضلاع مثلث هستند فرض مي كنيم :

$a=x+y,b=x+z,c=y+z$

پس نامساوي به اين شكل تغيير پيدا مي كند :

$\sum \sqrt{2x }\leq \sqrt{3\sum \sqrt{(x+y)(x+z)}}$

طرفين را به توان 2 مي رسانيم :

$2\sum x+4\sum \sqrt{xy}\leq 3\sum \sqrt{(x+y)(x+z)}$

بنابر همگن بودن نامساوي فرض مي كنيم :

$x+y+z=0$

پس داريم :

$0+4\sum \sqrt{xy}\leq 3\sum \sqrt{xy}\Rightarrow \sum \sqrt{xy}\leq 0$

كه غلط است!!!!! چرا چنين اتفاقي افتاده؟؟؟؟؟؟

mohammad_72 · 1389/3/14

Olympiad گفت

چون نمی‌تونید چنین فرضی کنید.
شما وقتی می‌تونید فرض کنید x+y+z=k که k>0.

saham_74 · 1389/3/14

M_Sharifi گفت

میدانیم

در غیر این صورت جهت نامساوی اولیه برعکس میشود(Romania IMAR Test 2005, Juniors, Problem 1)
حال نامساوی را بسط میدهیم.در نهایت به این میرسیم که:

یا

حال دو حالت داریم:
1)

2)

M_Sharifi · 1389/3/14

saham_74 گفت

درسته. به عنوان راه حل دوم برای قسمت (ب) دقت کنید که میشه فرض کرد که

[center:8b6933e629]

$\frac1{1+a+b}+\frac1{1+b+c}+\frac1{1+c+a}=1$

(در واقع

$a,b,c$

رو توی یه عدد بزرگ تر از یک ضرب می کنیم. با این کار سمت چپ نابرابری (ب) بزرگ تر میشه). فرض می کنیم

$a+b=u, ~b+c=v, ~c+a=w$

. در این صورت حکم مسئله به

$2\sum uv-\sum u^2\leq12$

تبدیل میشه. طبق نابرابری شور،

$2\sum uv-\sum u^2\leq\frac{9uvw}{u+v+w}$

[/center:8b6933e629]

از طرفی ساده شده ی فرض مسئله به

$uvw=2+u+v+w$

تبدیل میشه. بنابراین

[center:8b6933e629]

$2\sum uv-\sum u^2\leq\frac{9uvw}{u+v+w}=\frac{9(2+u+v+w)}{u+v+w}=9+\frac{18}{u+v+w}\leq12$

[/center:8b6933e629]

M_Sharifi · 1389/3/14

[center:da11b2fc7f]

$\300dpi \huge 8$

برای اعداد مثبت

$a,b,c$

با حاصل ضرب 1 نشان دهید

[/center:da11b2fc7f][center:da11b2fc7f]

$\frac1{(a+1)(a+2)}+\frac1{(b+1)(b+2)}+\frac1{(c+1)(c+2)}\geq\frac12$

[/center:da11b2fc7f]

Olympiad · 1389/3/14

برای سوال 8، نامساوي را همگن مي كنيم :

$\sum \frac{1}{(a+(abc)^{\frac{1}{3}})}$

و با استفاده از تغيير متغير

$a=x^3,b=y^3,c=z^3$

نامساوي به

$\sum \frac{1}{(x^3+xyz)(x^3+2xyz)}=\sum \frac{1}{x^6+3x^4yz+2x^2y^2z^2}$

تبديل مي شود و همچنين داريم

$xyz=1$

.
با فرض

$x\geq y\geq z$

طبق نامساوي جايگشتي داريم :

$\sum \frac{1}{x^6+3x^4yz+2x^2y^2z^2}\geq\sum \frac{1}{6x^6}=\frac{\sum x^6y^6}{6x^6y^6z^6}$

مي دانيم

$xyz=1$

و همچنين با استفاده از AM_GM داريم :
[center:37d9851c5a]

$\frac{\sum x^6y^6 }{6x^6y^6z^6}=\frac{\sum \frac{1}{x^6}}{6}\geq \frac{3}{6}=\frac{1}{2}$

[/center:37d9851c5a]پس اثبات تمام مي شود.
درسته آقاي شريفي؟؟؟؟!!!!
ضمنا در سوال قبل راه من كه غلط بود !!!

mahanmath · 1389/3/14

اون جا که جایگشتی زدی , تو همون کسری که برای سیگما نوشتی , اگه X از همه بزگتر باشه ممکنه غلط بشه !! البته میتونی با عدد امتحان کنی ...

M_Sharifi · 1389/3/15

Olympiad گفت

بقیه اش هم طبق کوشی:

[center:9078a46c1a]

$3\sum\sqrt{(x+y)(x+z)}\geq3\sum x+3\sum\sqrt{yz}\geq2\sum x+4\sum\sqrt{yz}$

[/center:9078a46c1a]

M_Sharifi · 1389/3/15

سه تا عبارت توی سیگما وجود داره که با فرض x>y>z فقط برای یکی از عبارت ها (که شما در نظر گرفتید) نابرابری که شما به کار بردید، درسته.

Olympiad · 1389/3/16

نمي دونم شايد ايني هم كه ميگم غلط باشه!!!
اگه پس از همگن سازي فرض كنيم x+y+z=3 ، با توجه به اين كه xyz=1 ، آنگاه طبق x=y=z ، AM_GM و حكم بديهي مي شود.
غلطه ، نه ؟؟؟؟!!!!

Aref · 1389/3/16

باید بدونی که وقتی داری یه عبارتو همگن میکنی شرط های قبلی رو از بین میبری!
در واقع داری متغیر هاتو به یک عبارت جبری تقسیم میکنی.)!)
مثلا همشونو داری به مجموعشون تقسیم میکنی

Aref · 1389/3/16

پس از همگن سازي:

$xyz\rightarrow \frac{xyz}{(x+y+z)^3}\neq 1$

و نمیتونی از حسابی هندسی نتیجه بگیری که

$x=y=z$

M_Sharifi · 1389/3/17

راه حل سوال 8.
با تغییر متغیر

$a=\frac xy,~b=\frac yz,~c=\frac zx$

نابرابری به صورت

[center:9011f034f9]

$\sum_{\textbf{cyc}}\frac{y^2}{(x+y)(x+2y)}\geq\frac12$

[/center:9011f034f9]
در می آید. طبق نابرابری کوشی شوارتز

[center:9011f034f9]

$\sum_{\textbf{cyc}}\frac{y^2}{(x+y)(x+2y)}\geq\frac{\big(\sum_{\textbf{cyc}} y(y+z)\big)^2}{\sum_{\textbf{cyc}} (x+y)(x+2y)(y+z)^2}$

[/center:9011f034f9]
بنابراین کافی است ثابت کنیم

[center:9011f034f9]

$2\left(\sum_{\textbf{cyc}} y(y+z)\right)^2\geq{\sum_{\textbf{cyc}} (x+y)(x+2y)(y+z)^2}$

[/center:9011f034f9]
که این نابرابری پس از ساده شده به صورت

[center:9011f034f9]

$2\sum_{\textbf{cyc}} x^2y^2+\sum_{\textbf{cyc}}xy^3\geq3\sum_{\textbf{cyc}}x^2yz$

[/center:9011f034f9]
در می آید. حالا کافیه دقت کنید که هر کدوم از سیگماهای سمت چپ نابرابری از سیگمای سمت راست، بزرگ ترند.

M_Sharifi · 1389/3/17

[center:7166467275]

$\300dpi \huge 9$

برای اعداد مثبت

$a,b,c$

نشان دهید

$\left(\frac a{a+b}\right)^3+\left(\frac b{b+c}\right)^3+\left(\frac c{c+a}\right)^3\geq\frac38$

[/center:7166467275]

Aref · 1389/3/17

$A=\sum (\frac{a}{a+b})^3$

$A(1+1+1)((a+b)^3+(b+c)^3+(c+a)^3)\geq (a+b+c)^3$

$f:\mathbb{R^+}\rightarrow \mathbb{R^+},f(x)=x^3\Rightarrow f''(x)=6x>0$

پس تابع تعریف شده مقعر می باشد.
علاوه بر این نامساوی همگنه پس

$a+b+c=1$

.
پس حکم اینه که

$A\geq \frac{1}{3(f(a+b)+f(b+c)+f(c+a)}\geq \frac{3}{8}$

یا معادلا:

$f(\frac{a+b}{2})+f(\frac{b+c}{2})+f(\frac{c+a}{2})\leq \frac{1}{9}$

که طبق نابرابری popoviciu (که نتیجه ی ینسن می باشد):

$f(\frac{a+b}{2})+f(\frac{b+c}{2})+f(\frac{c+a}{2})\leq \frac{1}{2}(f(a)+f(b)+f(c))+\frac{3}{2}(f(\frac{a+b+c}{3}))=\frac{a^3+b^3+c^3}{2}+\frac{1}{18}$

که

$(\sum a^3)(1+1+1)(1+1+1)\geq (\sum a)^3\Rightarrow \frac{a^3+b^3+c^3}{2}+\frac{1}{18}\geq \frac{1}{18}+\frac{1}{18}=\frac{1}{9}$

حکم را نتیجه می دهد. الانم حال ندارم اثبات popoviciu رو بنویسم داداشم داره گیر میده. به جان داداشم این اولین باره که از این نابرابری استفاده می کنم.

M_Sharifi · 1389/3/17

غلطه. از همون نابرابری اول مشخص بود که این نابرابری به درد حل مسئله نمی خوره. (چرا؟)
قسمت غلطش هم خط آخره که باید ثابت کنیم

$a^3+b^3+c^3\leq\frac19$

، که این نابرابری درست نیست (همون طور که شما هم برعکسش رو اثبات کردی).

imo009 · 1389/3/18

من یه سوال داشتم :
چه زمانی میشه یه فرض رو به سوال اضافه کرد ؟
( یعنی چی باید نامساوی رو همگن کرد یا نامساوی همگنه ؟)
و چه فرض هایی رو میشه اضافه کرد ؟

mahanmath · 1389/3/18

[center:612ebbff91][/center:612ebbff91]
مسئله 10 شبیه 9 هست !

[center:612ebbff91]

$\450dpi \textup{10}$

[/center:612ebbff91]

[center:612ebbff91]

$n\geq m\geq 0\: \;\; \; ,\: \; m,n\in \mathbb{N}$

[/center:612ebbff91]

[center:612ebbff91]ثابت کنید [/center:612ebbff91]

[center:612ebbff91]

$\frac{x^n}{(y+z)^m}+\frac{y^n}{(x+z)^m}+\frac{z^n}{(x+y)^m} \geq \frac{1}{2^m}(x^{n-m}+y^{n-m}+z^{n-m})$

[/center:612ebbff91]

ماراتن نامساوي

آيا شما مايل به راه افتادن تاپيك ماراتن نامساوي مي باشي

بله

خير

راهبر ریاضی

New Member

New Member

New Member

New Member

راهبر ریاضی

راهبر ریاضی

New Member

New Member

راهبر ریاضی

راهبر ریاضی

New Member

New Member

New Member

راهبر ریاضی

راهبر ریاضی

New Member

راهبر ریاضی

New Member

New Member