ماراتن جبر (سطح ممتاز)

Dadgarnia · 1393/10/28

پاسخ : ماراتن جبر (سطح ممتاز)

aras2213 گفت

نمی دونم راهم درسته یا نه چون از شرط اول هیچ استفاده ای نکردم. پس دنبال جوب باشید! :4:
فرض کنید رابطه ی بالا

$P(x,y)$

باشه داریم:

$P(0,x)\rightarrow f(f(x))=f(x)$

$P(-1,-1)\rightarrow f(0)=0$

$P(x,0)\rightarrow f(x^4)=x^3f(x)$

$P(-x,0)\rightarrow f(x^4)=-x^3f(-x)$

$\Rightarrow f(-x)=-f(x)$

پس کافیه

$f$

اعداد مثبت رو پیدا کنیم. از طرفی طبق روابط بالا برای

$x\geq 0$

و

$y$

دلخواه داریم

$f(x+y)=f(x)+f(y)$

. فرض می کنیم

$f(1)=a$

با استفاده از این رابطه داریم:

$f((x+1)^4)=(x+1)^3f(x)+a(x+1)^3$

$=4f(x^3)+6f(x^2)+(x^3+4)f(x)+a$

$\Rightarrow f(x^3)=\frac{1}{4}((3x^2+3x-3)f(x)-6f(x^2)+(x+1)^3-a)$

حالا

$f((x+1)^3)$

رو به دو طریق حساب می کنیم:

$(3x^2+3x+9)f(x)+6f(x^2)+(x+1)^3+3a$

$=(3x^2+9x-9)f(x)-6f(x^2)+x^3+6x^2+12x+8+a(3x^2+9x-4)$

$\Rightarrow f(x^2)=\frac{1}{12}((6x-18)f(x)+3x^2+9x+7+a(3x^2+9x-7))$

حالا

$f((x+1)^2)$

رو به دو طریق حساب می کنیم:

$(6x-12)f(x)+3x^2+15x+19+a(3x^2+21x-7)$

$=(6x+6)f(x)+3x^2+9x+7+a(3x^2+9x+5)$

$\Rightarrow f(x)=\frac{1}{3}(x+2+a(2x-2))$

با جایگذاری در صورت سوال بدست میاد

$f(x)=x$

.

sepidfekr · 1393/11/1

پاسخ : ماراتن جبر (سطح ممتاز)

سوال بعد(امیدوارم صورتشو درست نوشته باشم):

$f:\mathbb{Z}\rightarrow \mathbb{Z}$

$a+b+c=0$

$\sum f(a)^2=2\sum f(a)f(b)$

Dadgarnia · 1393/11/1

پاسخ : ماراتن جبر (سطح ممتاز)

sepidfekr گفت

Information • Art of Problem Solving
حالا كه ناظم شدين لطفا سوال بعد رو هم خودتون بذارين! :4:

sepidfekr · 1393/11/1

پاسخ : ماراتن جبر (سطح ممتاز)

سوال بعد:

Dadgarnia · 1393/11/1

پاسخ : ماراتن جبر (سطح ممتاز)

sepidfekr گفت

فرض كنيد رابطه ي بالا

$P(x,y)$

باشه و قرار بدين

$f(0)=c$

داريم:

$P(x,0)\rightarrow f(f(x))=(c-1)f(x)+c$

$P(0,0)\rightarrow f(c)=c^2$

$\Rightarrow P(x,x)\rightarrow f(x)^2=x^2+c^2$

$\Rightarrow P(x,x),P(f(x),f(x))\rightarrow 2c(c-1)f(x)=c(2-c)(x^2+c^2)$

اگه

$c\neq 0$

داريم:

$f(x)=\frac{(2-c)}{2(c-1)}x^2+\frac{c^2(2-c)}{2(c-1)}$

اگه اين رابطه رو توي صورت سوال جايگذاري كنيم مي بينيم كه صدق نمي كنه پس

$c=0$

كه نتيجه ميده:

$f(x)^2=x^2$

حالا فرض كنيد

$\exists a\neq 0:f(a)=a$

اما مي دونيم:

$f(f(a))=-f(a)\Rightarrow a=0$

كه تناقضه پس

$f(x)=-x$

تنها جوابه.

sepidfekr · 1393/11/2

پاسخ : ماراتن جبر (سطح ممتاز)

سوال بعد:

mahdi math · 1393/11/2

پاسخ : ماراتن جبر (سطح ممتاز)

مطمئن نیستم جوابم درست باشه
دوستان اگه دیدن اشکال داره اصلاح کنن
(F(x)=g(x)*h(x)+r(x
میشه برای (r(x نوشت برای( g(x های مختلف در رابطه باید صفر درنظر گرفته شود
همچنین برای (h(x به همین ترتیب داریم مساوی یک در نتیجه (f(x)=g(x
که با توجه به یک به یک بودن جی رابطه برقرار است

Dadgarnia · 1393/11/2

پاسخ : ماراتن جبر (سطح ممتاز)

mahdi math گفت

اون اولين رابطه اي كه نوشتين لزومي نداره چنين توابعي وجود داشته باشن. اگه چندجمله اي بود ميشد اين كارو كرد ولي اينجا نميشه.

---- دو نوشته به هم متصل شده است ----

sepidfekr گفت

فرض كنيد رابطه ي بالا

$P(x,y)$

باشه. داريم:

$P(x,-g(x))\rightarrow g(f(-g(x))+x)=f(0)$

چون

$g$

يك به يكه پس

$f(-g(x))+x$

داراي مقداري ثابته:

$f(-g(x))=c-x$

$\Rightarrow P(x,-2g(x))\rightarrow g(f(-2g(x))+x)=c-x$

با استفاده از روابط بالا بدست مياد كه

$f,g$

هر دو پوشا هستن. پس

$a,b$

اي وجود دارند كه

$f(a)=0,g(b)=0$

. داريم:

$P(x,a)\rightarrow f(g(x)+a)=g(x)$

$\Rightarrow P(b,g(x)+a)\rightarrow g(g(x)+b)=g(x)\Rightarrow g(x)=x-b$

حالا به راحتي بدست مياد كه

$f(x)=x-a$

و اين توابع تمام شرط هاي مسئله رو دارا هستند.
من فقط نفهميدم كه شرط

$f,g:\Bbb{Z}\rightarrow \Bbb{Z}$

چه استفاده اي داره؟

aras2213 · 1393/11/2

پاسخ : ماراتن جبر (سطح ممتاز)

سوال بعد:همه توابع

$f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$

را بیابید به طوری که:

$f(x^3+y^3+xy)=x^2f(x)+y^2f(y)+f(xy)$

برای هر x,y حقیقی.

m-saghaei · 1393/11/2

پاسخ : ماراتن جبر (سطح ممتاز)

aras2213 گفت

این درسته؟ مطمئن نیستم.

اول اینکه اگه 0 و 1 بدیم درمیاد

$f(0)=0$

بعدش اگه y رو 0 بدیم در میاد که

$f(x^3)=x^2f(x)$

.

حالا اگه تو صورت سوال بدیم

$x=-y$

درمیاد

$f(-x^2)=x^2f(x)+x^2f(-x)+f(-x^2)\rightarrow f(-x)=-f(x)$

بعدش اومدم اول دادم

$y\rightarrow -y$

بعدشم با صورت سوال جمع کردم که شد

$f(x^3+y^3+xy)+f(x^3-y^3-xy)=x^2f(x)+x^2f(-x)+f(xy)+x^2f(x)-y^2f(y)-f(xy)=2x^2f(x)=2f(x^3)$

حالا اگه سمت چپی رو a و راستی رو b بگیریم داریم که

$f(a)+f(b)=2f(\frac{a+b}{2})$

از طرفی هم داریم

$f(0)+f(a+b)=2f(\frac{a+b}{2})$

که از این هم

درمیاد تابع جمعیه.

حالا توی

$f(x^3)=x^2f(x)$

میدیم

$x\rightarrow x+1$

که آخرش درمیاد

$3f(x^2)=(2x-2)f(x)+f(1)(x^2+2x)$

از طرفی هم اگه تو همینی که بدست

اومد بزاریم

$x\rightarrow -x$

درمیاد

$3f(x^2)=(2x+2)f(x)+f(1)(x^2-2x)$

که از مقایسه این دو تا آخری نتیجه میشه

$f(x)=f(1)x$

که

$f(1)$

رو هم

اگه

$c$

بگیریم نتیجه میشه که تابعی که صدق میکنه میشه

$f(x)=cx$

!! که تو سوال هم صدق میکنه.

الان اینجوری درسته؟ (به علت ذیق وقت خلاصه نوشتم!)

m-saghaei · 1393/11/9

پاسخ : ماراتن جبر (سطح ممتاز)

سوال بعد:

$x,y,z$

اعداد حقیقی مثبت هستند.

$max(\sum \frac{x^3y^4z^3}{(x^4+y^4)(xy+z^2)^3})= ?$

aras2213 · 1393/12/14

پاسخ : ماراتن جبر (سطح ممتاز)

m-saghaei گفت

Community - Art of Problem Solving

aras2213 · 1393/12/15

پاسخ : ماراتن جبر (سطح ممتاز)

سوال بعد:همه زوج توابع حقیقی

$(f,g)$

رو بیابید که:

$g(f(x+y))=f(x)+(2x+y)g(y)$

.برای هر x,y حقیقی.

Dadgarnia · 1393/12/15

پاسخ : ماراتن جبر (سطح ممتاز)

aras2213 گفت

فرض كنيد رابطه ي بالا

$P(x,y)$

باشه. داريم:

$P(0,0)\rightarrow g(f(0))=f(0)=c$

$\Rightarrow P(-x,x)\rightarrow f(-x)=c+xg(x)$

$\Rightarrow P(-x,y)\rightarrow g(c+(x-y)g(x-y))=c+xg(x)-(2x-y)g(y)$

رابطه ي آخرو

$Q(x,y)$

مي ناميم. حالا داريم:

$Q(-x,0)\rightarrow g(c-xg(-x))=c-xg(-x)+2xg(0)$

$Q(0,x)\rightarrow g(c-xg(-x))=c+xg(x)$

$\Rightarrow c+xg(x)=c-xg(-x)+2xg(0)\Rightarrow g(-x)=-g(x)+2g(0)$

$Q(x,-y)\rightarrow g(c+(x+y)g(x+y))=c+xg(x)+(2x+y)g(y)-2(2x+y)g(0)$

توي رابطه ي آخر جاي x,y رو با هم عوض مي كنيم:

$\Rightarrow yg(x)-xg(y)=(y-x)g(0)$

پس

$g(x)=ax+b$

و

$f(x)=ax^2-bx+c$

با جايگذاري اين روابط توي صورت سوال بدست مياد

$b=c=0$

و a هم ميشه صفر يا يك پس دسته جواب هاي

$f(x)\equiv g(x)\equiv 0$

و

$f(x)=x^2,g(x)=x$

فقط وجود دارند.
آقا ارس لطفا شما سوال بذارين من سوال خوب ندارم!

aras2213 · 1393/12/21

پاسخ : ماراتن جبر (سطح ممتاز)

آیا تابع

$f:\mathbb{R}^+\rightarrow \mathbb{R}^+$

وجود دارد به طوری که برای هر x,y حقیقی و مثبت داشته باشیم:

$f(x+y)\geq yf(f(x))$

؟

Dadgarnia · 1393/12/21

پاسخ : ماراتن جبر (سطح ممتاز)

aras2213 گفت

فرض می کنیم عبارت بالا

$P(x,y)$

باشه. اگه

$x$

ای موجود باشه که

$f(x)>x$

داریم:

$P(x,f(x)-x)\rightarrow f(x)\leq x+1$

که تناقضه پس برای هر

$x\in \Bbb{R}^+$

داریم

$f(x)\leq x$

. از این رابطه نتیجه می گیریم:

$P(x,y)\rightarrow yf(f(x))\leq f(x+y)\leq x+y\Rightarrow f(f(x))\leq 1+\frac{x}{y}$

پس اگه

$y$

رو به

$+\infty$

ببریم

$\frac{x}{y}$

به صفر میل می کنه پس

$f(f(x))\leq 1$

. فرض می کنیم

$x>1$

حالا داریم:

$P(1,x-1)\rightarrow f(x)\geq (x-1)f(f(1))$

پس

$f(x)$

از بالا کران دار نیست و برای هر

$x>\frac{1}{f(f(1))}+1$

داریم

$f(x)>1$

حالا فرض می کنیم

$x>\frac{1}{f(f(1))}+1$

و توی رابطه ی بالا به جای

$x$

قرار میدیم

$f(x)$

که بدست میاد:

$(f(x)-1)f(f(1))\leq f(f(x))\leq 1\Rightarrow f(x)\leq \frac{1}{f(f(1))}+1$

پس

$f(x)$

از بالا کران داره که تناقضه پس چنین تابعی وجود نداره.

اگه درست بود لطفا خودتون به سوال گذاشتن ادامه بدین! :4:

AHZolfaghari · 1393/12/21

پاسخ : ماراتن جبر (سطح ممتاز)

Dadgarnia گفت

فرض می کنیم عبارت بالا

$P(x,y)$

باشه. اگه

$x$

ای موجود باشه که

$f(x)>x$

داریم:

$P(x,f(x)-x)\rightarrow f(x)\leq x+1$

که تناقضه پس برای هر

$x\in \Bbb{R}^+$

داریم

$f(x)\leq x$

. از این رابطه نتیجه می گیریم:

$P(x,y)\rightarrow yf(f(x))\leq f(x+y)\leq x+y\Rightarrow f(f(x))\leq 1+\frac{x}{y}$

پس اگه

$y$

رو به

$+\infty$

ببریم

$\frac{x}{y}$

به صفر میل می کنه پس

$f(f(x))\leq 1$

. فرض می کنیم

$x>1$

حالا داریم:

$P(1,x-1)\rightarrow f(x)\geq (x-1)f(f(1))$

پس

$f(x)$

از بالا کران دار نیست و برای هر

$x>\frac{1}{f(f(1))}+1$

داریم

$f(x)>1$

حالا فرض می کنیم

$x>\frac{1}{f(f(1))}+1$

و توی رابطه ی بالا به جای

$x$

قرار میدیم

$f(x)$

که بدست میاد:

$(f(x)-1)f(f(1))\leq f(f(x))\leq 1\Rightarrow f(x)\leq \frac{1}{f(f(1))}+1$

پس

$f(x)$

از بالا کران داره که تناقضه پس چنین تابعی وجود نداره.

اگه درست بود لطفا خودتون به سوال گذاشتن ادامه بدین! :4:

خط اول فرض کردید که f(x) > x بعد نتیجه گرفتید که f(x) <x+1 . این چه تناقضی داره ؟

Dadgarnia · 1393/12/21

پاسخ : ماراتن جبر (سطح ممتاز)

AHZolfaghari گفت

اوه بله چه جوبی زدم! :4:

AHZolfaghari · 1393/12/21

پاسخ : ماراتن جبر (سطح ممتاز)

aras2213 گفت

شما منظورتون همین سوال بوده ؟ آخه یه سوال بود توی TST رومانی هم اومده بود . همین بود . فقط تو طرف راست نامساوی یه f(x) هم داشت .

aras2213 · 1393/12/22

پاسخ : ماراتن جبر (سطح ممتاز)

AHZolfaghari گفت

صورت سوال همینه.:95:

ماراتن جبر (سطح ممتاز)

New Member

New Member

New Member

New Member

New Member

New Member

New Member

New Member

New Member

New Member

New Member

New Member

New Member

New Member

New Member

New Member

Well-Known Member

New Member

Well-Known Member

New Member